[論文レビュー] Quantum Friction: Cooling Quantum Systems with Unitary Time Evolution

Aurel Bulgac, Michael McNeil Forbes+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、ハミルトニアンに時間反転対称性を破るポテンシャルを追加することで、ユニタリでメモリフリーな方法として、量子多体系を冷却する局所的量子摩擦を導入する。$O(N^2\log N)$のスケーリングを実現する時間発展演算により、時間に依存するDFT（TDDFT）シミュレーションにおける基底状態準備を著しく高速化し、$N \sim 10^5$ から $10^6$ 個の状態を持つ大規模なフェルミ粒子系において、従来の $O(N^3)$ の対角化手法を凌駕する。

ABSTRACT

We introduce a type of quantum dissipation -- local quantum friction -- by adding to the Hamiltonian a local potential that breaks time-reversal invariance so as to cool the system. Unlike the Kossakowski-Lindblad master equation, local quantum friction directly effects unitary evolution of the wavefunctions rather than the density matrix: it may thus be used to cool fermionic many-body systems with thousands of wavefunctions that must remain orthogonal. In addition to providing an efficient way to simulate quantum dissipation and non-equilibrium dynamics, local quantum friction coupled with adiabatic state preparation significantly speeds up many-body simulations, making the solution of the time-dependent Schrödinger equation significantly simpler than the solution of its stationary counterpart.

研究の動機と目的

• 強相関フェルミオン系の時間に依存する密度汎関数理論（TDDFT）シミュレーションにおける初期状態準備の計算的ボトル neck を解決すること。
• 単粒子状態が $N \sim 10^5$ から $10^6$ の系において、自己無撞着な基底状態を求めるために必要な $O(N^3)$ のコストを克服すること。
• 密度行列の時間発展演算を必要とせず、メモリ集約的なKossakowski-Lindbladマスター方程式の代わりに、ユニタリでメモリフリーな代替手法を確立すること。
• 核物理学、超低温原子系、電子構造の非平衡ダイナミクスの効率的シミュレーションを可能にし、時間に依存するシュレーディンガー方程式の解法を、その定常状態に対比して簡素化すること。
• アディアバティックスイッチングと組み合わせることで、3次元の大規模系（例：$16 \times 16 \times 64$ 格子）における基底状態の準備の可能性を実証すること。

提案手法

• 時間反転対称性を破る局所的ポテンシャル $U_t$ を導入し、波動関数のユニタリな時間発展によって冷却を誘導する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式に局所的量子摩擦ポテンシャルを適用し、密度行列の時間発展演算を必要とせず、多体系状態の正規直交性を保つ。
• 局所的量子摩擦とアディアバティック状態準備を組み合わせ、単純な初期状態から段階的に目的の基底状態へと進化させる。
• 修正されたシュレーディンガー方程式を用いた時間発展演算により、TDDFTの初期状態を準備し、大規模な $N \times N$ ハミルトニアンの自己無撞着な対角化を回避する。
• GPUアクセラレートされた偏微分方程式系の解法を用いて、大規模な計算プラットフォーム（例：UW Hyak および NCCS のTitan）に実装する。
• 32,768 × 32,768 の単粒子ハミルトニアンと 15,322 個の結合偏微分方程式を持つ3次元ユニタリフェルミガスに対して、24個のGPUを用いて約1時間で収束を達成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度行列の時間発展演算を必要とせず、メモリ集約的なマスター方程式を避けるユニタリでメモリフリーな方法を、強相関フェルミオン系における量子散逸のシミュレーションに適用できるか。
• RQ2 時間反転対称性を破る局所的ポテンシャルを含めることで、多体系波動関数の効率的冷却が可能になり、正規直交性が保たれるか。
• RQ3 局所的量子摩擦を用いることで、反復的対角化に比べて、TDDFTシミュレーションの初期状態準備における計算コストを顕著に低減できるか。
• RQ4 局所的量子摩擦を用いた時間発展演算は、大規模系における時間に依存するシュレーディンガー方程式の解法において、定常状態の方法をどの程度上回るか。
• RQ5 本手法は、重い原子核や超低温フェルミガスのような、$N \sim 10^5$ から $10^6$ 個の単粒子状態を持つ系の非平衡ダイナミクスをシミュレートするためにスケーラブルか。

主な発見

• 局所的量子摩擦は、時間反転対称性を破るポテンシャルを用いることで、密度行列の時間発展演算を回避し、メモリ集約的なマスター方程式を必要とせずにフェルミオン系の多体系のユニタリ冷却を可能にする。
• 反復的対角化を時間発展演算に置き換えることで、基底状態準備の計算コストを $O(N^3)$ から $O(N^2\log N)$ に低減する。
• UW Hyakクラスタで24個のGPUを用いて、$16 \times 16 \times 64$ の格子点数と $32,768$ 個の単粒子状態を持つ3次元ユニタリフェルミガスの基底状態を約1時間で準備した。
• 異なる格子サイズ（$24^3$、$32^3$、$40^3$）において赤外収束が確認され、数値的安定性とスケーラビリティが裏付けられた。
• アディアバティックスイッチングと局所的量子摩擦を組み合わせることで、純粋なアディアバティック発展演算に比べてスイッチング時間が顕著に短縮され、収束が加速された。
• 本手法は将来のエクサスケールシステム（例：NCCSのTitan、18,680個のGPU）にスケーラブルであり、$100^3$ の格子上で数百万個の結合偏微分方程式をシミュレート可能である。