[論文レビュー] Quantum function computation using sublogarithmic space (abstract & poster)

A. C. Cem Say, Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、量子有限状態トランスデューサ（QFST）が、f1(x) = w（x = wcw かつ w ∈ {a,b}* の場合）を計算でき、そうでない場合は未定義であり、サブロガリズミックな空間を用いて有界誤差を達成できることを示している。主な貢献は、1ウェイ量子有限オートマトンにおける干渉に基づく状態遷移を介して、量子チューリングマシン（QTM）が、O(log n)未満の空間で関数計算において確実に確率的チューリングマシン（PTM）を上回ることを証明したことである。

ABSTRACT

We prove that quantum Turing machines are strictly superior to probabilistic Turing machines in function computation for any space bound $ o(\log(n)) $.

研究の動機と目的

• サブロガリズミックなワークスペースを備えた量子チューリングマシン（QTM）の計算能力を関数計算の観点から調査すること。
• 部分関数の計算において、量子チューリングマシンと確率的チューリングマシン（PTM）の空間効率を比較すること。
• 量子有限状態トランスデューサ（QFST）が、定数空間のみを用いて非正則言語を有界誤差で認識できることを示すこと。
• 関数計算におけるサブロガリズミック空間領域で、量子計算と古典的計算の厳密な分離を確立すること。
• 量子干渉を活用した新規な量子アルゴリズムを提示し、非自明な関数を有界誤差で定数空間で計算すること。

提案手法

• QFSTは、3つの計算経路の重ね合わせから開始され、それぞれの振幅は 1/√3 である。
• 経路3は直ちに拒否するが、経路1と2は入力文字列を処理し、中央の 'c' 文字の前後にある接頭語を抽出する。
• 入力が w1cw2 の形でない場合、経路1と2は高い確率で拒否する。
• 有効な入力 w1cw2 の場合、経路1と2はそれぞれの状態に量子フーリエ変換（QFT）を適用し、重ね合わせ状態 |q, Accept, w1⟩/√2 ± |q, Reject, w2⟩/√2 を生成する。
• 経路1（正の位相）と経路2（負の位相）の間の干渉により、w1 = w2 の場合に構成的干渉が生じ、受容確率が 2/3 に上昇する。
• 最終的な測定結果に基づき、レジスタ状態によって受容または拒否が決定され、出力文字列が1.5ウェイの書き込み専用テープに記録される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子有限状態トランスデューサは、古典的確率的マシンがサブロガリズミックな空間で計算できない関数を計算できるか？
• RQ2 定数空間で計算可能な関数 f1 が、o(log n) 空間で動作する任意の PTM によって計算可能でない関数であるか？
• RQ3 1ウェイ量子有限オートマトンは、有界誤差で非正則言語を認識できるか？
• RQ4 量子干渉は、空間制限付き関数計算において、古典的確率的計算に比べて厳密な優位性を提供できるか？
• RQ5 古典的マシンは、{wcw | w ∈ {a,b}*} の言語を o(log n) 空間で有界誤差で認識できるか？

主な発見

• 量子有限状態トランスデューサ（QFST）は、f1(x) = w（x = wcw かつ w ∈ {a,b}* の場合）を定数空間で有界誤差で計算でき、そうでない場合は未定義である。
• QFSTは、正しい関数出力に対して少なくとも 2/3 の成功確率を達成し、未定義の入力に対しては拒否する。
• 古典的確率的チューリングマシン（PTM）は、o(log n) 空間で f1 を有界誤差で計算できない。なぜなら、これにより非正則言語 {wcw | w ∈ {a,b}*} が o(log n) 空間で認識可能になるからである。
• QFSTは、1ウェイ入力ヘッドを備えた量子有限状態マシンとして、非正則言語を有界誤差で認識する最初の例である。
• 量子チューリングマシン（QTM）は、量子干渉と重ね合わせの恩恵により、すべての空間境界 s = o(log n）において、関数計算において確率的チューリングマシン（PTM）を厳密に上回る。
• この結果により、関数計算におけるサブロガリズミック空間領域で、量子計算と古典的計算の明確な分離が確立された。