[論文レビュー] Quantum Gates and Clifford Algebras

Alexander Yu. Vlasov|ArXiv.org|Jul 26, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、量子情報科学における量子ゲートおよび線形変換を表現するため、複素数のクリフォード代数 Cl(2n,C) を用いた数学的枠組みを確立する。Cl(2n,C) がすべての 2^n × 2^n ユニタリ行列を普遍的に表現可能であることを示し、基本的生成子のテンソル積を用いた量子回路のコンパクトなモデル化を可能にする。この枠組みは、量子回路のシミュレーションやキュービット系の理論的解析に応用可能である。

ABSTRACT

Clifford algebras are used for definition of spinors. Because of using spin-1/2 systems as an adequate model of quantum bit, a relation of the algebras with quantum information science has physical reasons. But there are simple mathematical properties of the algebras those also justifies such applications. First, any complex Clifford algebra with 2n generators, Cl(2n,C), has representation as algebra of all 2^n x 2^n complex matrices and so includes unitary matrix of any quantum n-gate. An arbitrary element of whole algebra corresponds to general form of linear complex transformation. The last property is also useful because linear operators are not necessary should be unitary if they used for description of restriction of some unitary operator to subspace. The second advantage is simple algebraic structure of Cl(2n) that can be expressed via tenzor product of standard "building units" and similar with behavior of composite quantum systems. The compact notation with 2n generators also can be used in software for modeling of simple quantum circuits by modern conventional computers.

研究の動機と目的

• クリフォード代数を用いた量子ゲートの厳密な数学的基盤を確立すること。
• 複素クリフォード代数 Cl(2n,C) がすべての 2^n × 2^n ユニタリ行列を表現可能であり、普遍的な量子ゲートモデル化を可能にすることを示すこと。
• Cl(2n,C) の代数的構造が、複合量子系のテンソル積構造と一致することを示すこと。
• 古典的コンピュータ上での量子回路シミュレーションのソフトウェア実装に適したコンパクトな代数的表記を提供すること。
• 物理的妥当性と数学的簡潔さの両面から、量子情報科学におけるクリフォード代数の使用を正当化すること。

提案手法

• Cl(2n,C) とすべての 2^n × 2^n 複素行列の代数の間の同型を用いる。
• Cl(2n,C) を単一キュービット操作に対応する「構築単位」へのテンソル積分解に活用する。
• 任意の量子 n ゲートをクリフォード代数 Cl(2n,C) の要素として表現する。
• 部分空間上の線形変換のモデル化に代数的構造を適用し、ユニタリ性を要求しない場合にも対応する。
• 2n 個の生成子形式を用いて、ソフトウェアにおける量子回路の効率的符号化と操作を可能にする。
• Cl(2n,C) の代数的性質を活用して、複合量子系の記述を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリフォード代数は、量子情報理論における量子ゲートの普遍的な代数的枠組みを提供できるか？
• RQ2 Cl(2n,C) の構造は、多キュービット量子系のテンソル積構造とどのように関係するか？
• RQ3 Cl(2n,C) の形式的表現は、古典的コンピュータ上での量子回路シミュレーションにおいてどのような利点を提供するか？
• RQ4 Cl(2n,C) における線形作用素の代数的表現は、ユニタリ変換を越えてどのような拡張を可能にするか？
• RQ5 2n 個の生成子形式は、量子回路の効率的モデリングと解析にどのように利用できるか？

主な発見

• Cl(2n,C) はすべての 2^n × 2^n 複素行列の代数と同型であり、任意の量子 n ゲートの表現を可能にする。
• 代数 Cl(2n,C) は、ユニタリおよび非ユニタリな線形変換を自然に組み込み、制限付き作用素解析に有用である。
• Cl(2n,C) のテンソル積構造は、複合量子系の構造と一致し、多キュービット系の自然な形式的枠組みを提供する。
• 2n 個の生成子形式により、ソフトウェアシミュレーションにおける量子回路のコンパクトで効率的な表現が可能になる。
• Cl(2n,C) の数学的簡潔さと普遍性は、物理的動機付けを超えて、量子情報科学におけるその使用を正当化する。
• 代数的枠組みは、ユニタリ性を要件としない部分空間上の線形作用素のモデル化を可能にし、適用範囲を広げる。