[論文レビュー] Quantum Gauge Theories and Noncommutative Geometry

Edwin Langmann|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学（NCG）が、フェルミオン-ヤン・ミルズ系における量子ゲージ理論の異常を理解する幾何的枠組みを提供することを示している。異常導出をNCGにおける一般化されたde Rham形式として解釈することで、計算を単純化し、特に奇数次元の有効フェルミオン作用と現在代数における異常降下方程式の背後にあるより深い構造を明らかにする統一的で幾何的な手法を提供する。

ABSTRACT

I review results from recent investigations of anomalies in fermion--Yang Mills systems in which basic notions from noncommutative geometry (NCG) where found to naturally appear. The general theme is that derivations of anomalies from quantum field theory lead to objects which have a natural interpretation as generalization of de Rham forms to NCG, and that this allows a geometric interpretation of anomaly derivations which is useful e.g. for making these calculations efficient. This paper is intended as selfcontained introduction to this line of ideas, including a review of some basic facts about anomalies. I first explain the notions from NCG needed and then discuss several different anomaly calculations: Schwinger terms in 1+1 and 3+1 dimensional current algebras, Chern--Simons terms from effective fermion actions in arbitrary odd dimensions. I also discuss the descent equations which summarize much of the geometric structure of anomalies, and I describe that these have a natural generalization to NCG which summarize the corresponding structures on the level of quantum field theory. Contribution to Proceedings of workshop `New Ideas in the Theory of Fundamental Interactions', Szczyrk, Poland 1995; to appear in Acta Physica Polonica B.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学（NCG）を用いて、量子ゲージ理論における異常を幾何学的に解釈すること。
• 異常導出が非可換幾何学における一般化されたde Rham形式に対応することを示し、より体系的で効率的な計算手法を可能にすること。
• 異常理論の標準的降下方程式を非可換設定に一般化し、幾何言語で量子場理論の構造を捉えること。
• NCGと異常計算の相互作用について、特に1+1次元および3+1次元の現在代数と奇数次元のチェーン＝シモンズ項において、自己完結的な導入を提供すること。

提案手法

• 非可換微分形式や導分などの非可換幾何学の基礎的概念を用いて、量子場理論の異常を再解釈する。
• NCGの枠組みを適用して、1+1次元および3+1次元の現在代数におけるシュヴィンガー項を導出し、それらの幾何的起源を示す。
• 任意の奇数次元における有効フェルミオン作用を分析し、チェーン＝シモンズ項を導出し、それらを非可換幾何学における曲率形式の一般化として解釈する。
• 異常理論の標準的降下方程式を非可換設定に一般化し、異常キャンセレーション機構の背後にあるより深い幾何的構造を明らかにする。
• 代数的技法を用いて、量子場理論の計算と非可換微分形式を結びつけ、一貫性と幾何的明確性に重点を置く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学は、どのように量子ゲージ理論における異常を幾何学的に解釈できるか？
• RQ2 一般化されたde Rham形式は、非可換幾何学において異常導出を記述するために果たす役割は何か？
• RQ3 異常理論の標準的降下方程式は、非可換幾何学の枠組み内でどのように一般化されるか？
• RQ4 奇数次元におけるチェーン＝シモンズ項は、非可換幾何的構造からどのように自然に出現するか？
• RQ5 非可換微分形式を用いることで、現在代数における異常計算を体系的かつ簡略化できるか？

主な発見

• フェルミオン-ヤン・ミルズ系における異常は、非可換幾何学における一般化されたde Rham形式として自然に解釈され、その導出の幾何的基盤が提供される。
• 1+1次元および3+1次元の現在代数におけるシュヴィンガー項は、非可換微分形式から生じており、これらの量子補正の幾何的起源が明らかになる。
• 任意の奇数次元におけるチェーン＝シモンズ項は、非可換幾何学の視点から有効フェルミオン作用を通じて導かれ、次元を越えて一貫した出現を示す。
• 異常理論の中心的役割を果たす降下方程式は、非可換幾何学に一般化され、代数的構造を保ちながらもその幾何的意味を拡張する。
• 幾何的アプローチにより、異常計算が単純化され体系化され、量子場理論における異常計算に対してより効率的で概念的に明確な手法が提供される。