[論文レビュー] Quantum Geometry and Gravity

Eduard Prugovečki|ArXiv.org|Nov 1, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における古典的フレーム bundle の代わりに、ポアンカレ共変な量子フレーム bundle を用いる幾何的量子化フレームワークを提案する。一般化されたコherent状態を情報的に完全な量子フレームとして用い、破れた測地線経路に沿った経路積分を用いて量子重力を定式化することで、基礎的問題を避ける一方で、幾何的構造と量子的構造を統合する。

ABSTRACT

The geometro-stochastic method of quantization provides a framework for quantum general relativity, in which the principal frame bundles of local Lorentz frames that underlie the fibre-theoretical approach to classical general relativity are replaced by Poincaré-covariant quantum frame bundles. In the semiclassical regime for quantum field theory in curved spacetime, where the gravitational field is not quantized, the elements of these local quantum frames are generalized coherent states, which emerge naturally from phase space representations of the Poincaré group. Due to their informational completeness, these quantum frames are capable of taking over the role played by complete sets of observables in conventional quantum theory. The propagation of quantum-geometric fields proceeds by path integral methods, based on parallel transport along broken paths consisting of arcs of geodesics of the Levi-Civita connection. The formulation of quantum gravity within this framework necessitates the transition to quantum superframe bundles and a quantum gravitational supergroup capable of incorporating diffeomorphism invariance into the framework. This results in a geometric version of quantum gravity which shares some conceptual features with covariant as well as with canonical gravity, but which avoids the foundational and the mathematical difficulties encountered by these two approaches.

研究の動機と目的

• 量子一般相対性理論の幾何的枠組みを構築し、量子力学と重力を統合すること。
• 一般相対性理論における古典的局所ローレンツフレーム bundle を、ポアンカレ共変的に量子フレーム bundle に置き換えること。
• 一般化されたコherent状態を情報的に完全な量子フレームとして用い、従来の観測可能量に置き換えること。
• 平行移動を破れた測地線経路に沿って行う経路積分に基づいて、量子重力を定式化すること。
• 微分同相変換不変性を量子スーパ-frame bundle と量子重力スーパ[group] を用いて組み込むこと。

提案手法

• 微分幾何的確率的手法により、一般相対性理論のファイバー束形式において、古典的フレーム bundle をポアンカレ共変な量子フレーム bundle に置き換える。
• 位相空間表現から導かれる一般化されたコherent状態が、量子フレームを形成し、情報的完全性を保証する。
• 量子幾何的場の伝播は、Levi-Civita 接続に基づく平行移動を用いた、区分的測地線経路に沿った経路積分によってモデル化される。
• 微分同相変換不変性を符号化するために、フレームワークは量子スーパ-frame bundle と量子重力スーパ[group] へと移行する。
• この手法は、canonical および covariant な量子重力の両方の特徴を組み合わせつつ、それらの基礎的および数学的困難を回避する。
• 共変性とユニタリティを保つために、コherent状態構造を介した幾何的量子化スキームに裏打ちされたフレームワークである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré 共変性を保つ幾何的枠組み内で、どのようにして量子重力を定式化できるか？
• RQ2 一般化されたコherent状態は、曲がった時空内での完全な量子観測可能量の集合として機能できるか？
• RQ3 量子幾何的設定下で、破れた測地線経路に沿った経路積分の量子化をどのように適応できるか？
• RQ4 量子スーパ-frame bundle は、量子重力における微分同相変換不変性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 幾何的アプローチは、canonical および covariant な量子化の基礎的問題を回避できるか？

主な発見

• 微分幾何的確率的手法により、ポアンカレ共変な量子フレーム bundle を用いた、一貫性のある量子一般相対性理論の定式化が可能である。
• Poincaré 群の位相空間表現から導かれる一般化されたコherent状態は、情報的完全性を提供し、従来の観測可能量の集合に代わる。
• 量子幾何的場の伝播は、Levi-Civita 接続に従う平行移動を用いた、破れた測地線弧に沿った経路積分によって定義される。
• 量子スーパ-frame bundle と量子重力スーパ[group] への移行により、微分同相変換不変性が幾何的枠組みにうまく組み込まれた。
• 得られる理論は、canonical および covariant 手法の両方の数学的および基礎的問題を回避する。
• このフレームワークは、既存のアプローチの概念的要素を統合しながらも、数学的に一貫性を持つ、幾何的量子重力のバージョンとして提示される。