[論文レビュー] Quantum geometry of moduli spaces of local systems and representation theory

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 36

ひとこと要約

本論文は、decorated surfaces上のGローカルシステムのモジュライ空間にcluster PoissonおよびK2構造を構築し、それらの等変量子化を証明し、表現論的およびデュアル性の応用を導出する。

ABSTRACT

Let G be a split semi-simple adjoint group, and S a colored decorated surface, given by an oriented surface with punctures, special boundary points, and a specified collection of boundary intervals. We introduce a moduli space P(G,S) parametrizing G-local system on S with some boundary data, and prove that it carries a cluster Poisson structure, equivariant under the action of the cluster modular group M(G,S), containing the mapping class group of S, the group of outer automorphisms of G, and the product of Weyl / braid groups over punctures / boundary components. We prove that the dual moduli space A(G,S) carries a M(G,S)-equivariant cluster structure, and the pair (A(G,S), P(G,S)) is a cluster ensemble. These results generalize the works of V. Fock & the first author, and of I. Le. We quantize cluster Poisson varieties X for any Planck constant h s.t. h>0 or |h|=1. First, we define a *-algebra structure on the Langlands modular double A(h; X) of the algebra of functions on X. We construct a principal series of representations of the *-algebra A(h; X), equivariant under a unitary projective representation of the cluster modular group M(X). This extends works of V. Fock and the first author when h>0. Combining this, we get a M(G,S)-equivariant quantization of the moduli space P(G,S), given by the *-algebra A(h; P(G,S)) and its principal series representations. We construct realizations of the principal series *-representations. In particular, when S is punctured disc with two special points, we get a principal series *-representations of the Langlands modular double of the quantum group Uq(g). We conjecture that there is a nondegenerate pairing between the local system of coinvariants of oscillatory representations of the W-algebra and the one provided by the projective representation of the mapping class group of S.

研究の動機と目的

• Gモジュライ空間をcluster構造と高次Teichmüller理論に結びつけることによって研究を動機づける。
• PG,SとAG′,Sを、それぞれcluster Poissonおよびcluster K2-構造として定義・研究する。
• PG,SのΓG,S-等変量子化を展開し、それをLanglands dualityと関連付ける。
• Donaldson–Thomas変換、デュアル性予想、および関数代数におけるcanonical basesへの応用を示す。

提案手法

• モジュライ空間PG,Sに対してcanonical ΓG,S-等変cluster Poisson構造を導入・付与する。
• 双模モジュライ空間AG′,SがΓG,S-等変cluster K2構造を保持し、PG,Sとcluster ensembleを形成することを証明する。
• PG,Sを量子化して、Langlands modular double Aℏ(PG,S)およびそのprincipal series表現のΓG,S-等変∗-表現を得る。
• PG,SのDonaldson–Thomas変換はcluster Poisson変換であり、cluster構造を用いて明示的に計算する。
• AG∨,Sの熱点によってパラメータ付けされたPG,Sのcanonicalな線形基底をO(PG,S)において構成し、この枠組みでduality conjecturesを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gのsplit semi-simple adjointに対して、PG,Sおよびその双対AG′,Sにはどのようなcluster構造が存在するか？
• RQ2 ΓG,S対称性はこれらのcluster構造とそのquantizationにどのように作用するか？
• RQ3 PG,SをquantizeしてLanglands dualデータに対応するΓG,S-等変∗-表現を得ることは可能か？
• RQ4 これらの構造がDT-transformations、duality conjectures、およびO(PG,S)のcanonical basesに対してどのような影響を与えるか？
• RQ5 これらの構築は高次Teichmüller理論、conformal blocks、および量子群表現とどのように結びつくか？

主な発見

• PG,Sはcanonical ΓG,S-等変cluster Poisson構造を持つ。
• AG′,SはΓG,S-等変cluster K2構造を保持し、PG,Sとcluster ensembleを形成する。
• Aℏ(PG,S)はprincipal series ∗-表現を介してΓG,S-等変quantizationを提供する。
• PG,SのDonaldson–Thomas変換はcluster Poisson変換であり、明示的に計算される。
• O(PG,S)にはAG∨,Sの熱点によってパラメータ付けされたcanonicalな線形基底が構成され、duality conjecturesがこの枠組みで確立される。
• 応用として量子群のprincipal series表現やLanglands dualityおよびモジュラ分岐functorsへの接続が含まれる。