[論文レビュー] Quantum gravity and the KPZ formula

Christophe Garban|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 21

ひとこと要約

本論文は、均質化を用いてランダム平面図をリーマン面へと結びつけることで、2次元量子重力におけるKPZ公式のきめ細やかな幾何的解釈を提供する。デュプラントゥアとシーフィールドの枠組みを用い、共形溶接とガウス型乗法的乱雑性を介して、ランダム格子上の臨界統計模型とそのユークリッド版との間の対応を確立する。これにより、長年の予想であった、ランダム幾何と共形場理論におけるKPZ公式の起源が解明される。

ABSTRACT

This text is a survey (Bourbaki seminar) on the paper "Liouville quantum gravity and KPZ" By B.Duplantier and S.Sheffield. The study of statistical physics models in two dimensions (d=2) at their critical point is in general a significantly hard problem (not to mention the d=3 case). In the eighties, three physicists, Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov (KPZ) came up in \cite{\KPZ} with a novel and far-reaching approach in order to understand the critical behavior of these models. Among these, one finds for example random walks, percolation as well as the Ising model. The main underlying idea of their approach is to study these models along a two-step procedure as follows: a/ First of all, instead of considering the model on some regular lattice of the plane (such as $\Z^2$ for example), one defines it instead on a well-chosen "random planar lattice". Doing so corresponds to studying the model in its {\it quantum gravity} form. In the case of percolation, the appropriate choice of random lattice matches with the so-called planar maps. b/ Then it remains to get back to the actual {\it Euclidean} setup. This is done thanks to the celebrated {\bf KPZ formula} which gives a very precise correspondence between the geometric properties of models in their quantum gravity formulation and their analogs in the Euclidean case. The nature and the origin of such a powerful correspondence remained rather mysterious for a long time. In fact, the KPZ formula is still not rigorously established and remains a conjectural correspondence. The purpose of this survey is to explain how the recent work of Duplantier and Sheffield enables to explain some of the mystery hidden behind this KPZ formula. To summarize their contribution in one sentence, their work implies a beautiful interpretation of the KPZ correpondence through a uniformization of the random lattice, seen as a Riemann surface.

研究の動機と目的

• 量子重力および統計力学における長年の予想であるKPZ公式の幾何的かつ確率的解釈を提供すること。
• ランダム格子上の臨界モデル（量子重力）とそのユークリッド版との間の対応を明確にすること。
• 均質化技術を用いて、ランダム平面図、リーマン面量子重力、および共形場理論との厳密な接続を確立すること。
• KPZ公式がランダム曲面のスケーリング極限およびランダム計量の共形溶接から生じることを解釈すること。
• 最近のSLE、ガウス型乗法的乱雑性、およびランダム計量空間の進展を用いて、ヒューリスティックなKPZ対応を検証および拡張すること。

提案手法

• 均質化を用いて、ランダム平面図をリーマン面として解釈するデュプラントゥア＝シーフィールドの枠組みを用いる。
• 共形溶接技術を適用し、リーマン面量子重力測度を介して、量子重力計量とユークリッド計量との関係を確立する。
• ガウス型乗法的乱雑性（GMC）を用いて、ランダム曲面上のランダム測度を構成し、統計モデルにおける臨界指数と結びつける。
• ランダム平面四角形分割のスケーリング極限を用い、ブラウン運動の極限としてのブラウン運動への収束を示し、ランダム幾何における普遍的極限対象を確認する。
• SLE（シュラム＝ロエヴェール進化）と共形不変性を用いて、量子重力設定におけるランダム曲線およびその交差指数を分析する。
• Gromov–Hausdorff位相における離散的ランダム図の収束がブラウン運動に一致することに依拠し、連続極限における普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KPZ公式は、量子重力の幾何的かつ確率的構成からどのように厳密に導出可能か？
• RQ2 均質化は、ランダム平面図とリーマン面量子重力の間を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 統計モデルにおける臨界指数（例：渗流、SLE）は、KPZ対応下でどのように変換されるか？
• RQ4 ガウス型乗法的乱雑性測度と量子重力計量との正確な関係は何か？
• RQ5 KPZ対応は、連続極限におけるランダム曲面の共形溶接として解釈可能か？

主な発見

• KPZ公式は、ランダム平面図がリーマン面に均質化されることに起因し、公式の幾何的起源を自然に与える。
• 均質的ランダム平面四角形分割のスケーリング極限は、ランダム幾何における普遍的対象たるブラウン運動に収束し、量子重力設定における普遍性を確認する。
• ガウス型乗法的乱雑性を用いて構築されたリーマン面量子重力測度は、量子的およびユークリッド的臨界指数を結ぶ正しい共形因子を提供する。
• SLEプロセスおよびランダム曲面の共形溶接を通じて、量子重力とユークリッドモデルとの間の対応が厳密に確立される。
• KPZ公式は、リーマン面量子重力測度における測度の変更と同等であることが示され、多フラクタル解析および共形場理論と結びつく。
• この枠組みは離散的および連続的モデルを統合し、滲流やSLEなどのモデルにおける臨界指数がKPZ写像下で予測可能に変換されることを示す。