[論文レビュー] Quantum groups acting on n points, complex Hadamard matrices, and a construction of subfactors

Teodor Banica|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 1998

Advanced Operator Algebra Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Kac型のコンpakト量子群 $G$ が有限次元 $C^*$-代数および $II_1$ 因子 $P$ に作用するものとして、$(B_0\bigotimes P)^G \subset (B_1\bigotimes P)^G$ の形の部分因子を構成する。適切な条件下で、この構成はワッサーマンの技法を用いてジョーンズ指数と標準不変量が計算可能となる部分因子を生じさせ、既知の部分因子（群の部分群、射影的群表現、有限量子群、離散群、統計的模型など）を統一的に扱う。

ABSTRACT

We construct inclusions of the form $(B_0\otimes P)^G\subset (B_1\otimes P)^G$, where $G$ is a compact quantum group of Kac type acting on an inclusion of finite dimensional $\c^*$-algebras $B_0\subset B_1$ and on a $II_1$ factor $P$. Under suitable assumptions on the actions of $G$, this is a subfactor, whose Jones to er and standard invariant can be computed by using techniques of A. Wassermann. The subfactors associated to subgroups of compact groups, to projective representations of compact groups, to finite quantum groups, to finitely generated discrete groups, to vertex models and to spin models are of this form.

研究の動機と目的

• 群論、量子群、統計的模型から生じる多様なクラスの部分因子を、一つの代数的枠組みで統一すること。
• Kac型のコンパクト量子群の $C^*$-代数および $II_1$ 因子への作用を組み込むことで、部分因子理論を拡張すること。
• ジョーンズ指数と標準不変量が明示的に計算可能な部分因子の一般的構成法を提供すること。
• 既知の部分因子例（有限量子群やスピン模型から得られるものなど）が、この統一的量子群作用枠組みに適合することを示すこと。

提案手法

• 構成は、コンパクト量子群 $G$ のKac型に対する固定点代数 $(B_0\otimes P)^G$ および $(B_1\otimes P)^G$ を用いる。
• $G$ の作用は $B_0\subset B_1$ の包含を保存し、$II_1$ 因子 $P$ に対しても整合的に作用すると仮定する。
• 結果として得られる部分因子のジョーンズ指数と標準不変量を計算するために、A. ワッサーマンの作用素代数および量子群表現に関する研究の技法が適用される。
• 部分因子構造が適切に振る舞うように保証するため、Kac型コンパクト量子群の双対性および表現論に依拠する。
• この構成は、有限量子群や頂点／スピン模型から得られる既知の部分因子族に適用可能であることが示される。
• $C^*$-代数と $II_1$ 因子の使用により、得られる対象が有限ジョーンズ指数をもつwell-definedなフォン・ノイマン代数であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限量子群から生じる部分因子は、$C^*$-代数および $II_1$ 因子への量子群の対称性によって体系的に構成可能か？
• RQ2 Kac型のコンパクト量子群が $C^*$-代数および $II_1$ 因子に作用するとき、その作用が既知の標準不変量を持つ計算可能な部分因子をどのように生じさせるか？
• RQ3 射影的群表現やスピン模型から得られる既知の部分因子構成は、どの程度、量子群作用に基づく統一的枠組みに適合するか？
• RQ4 $(B_0\otimes P)^G\subset (B_1\otimes P)^G$ が有限ジョーンズ指数をもつ部分因子をなすために、$G$ の作用に必要な条件は何か？
• RQ5 ワッサーマンの技法は、このような量子群に由来する部分因子の標準不変量を計算するために適応可能か？

主な発見

• 適切な $Kac$ 型コンパクト量子群 $G$ の作用の下で、部分因子 $(B_0\otimes P)^G\subset (B_1\otimes P)^G$ が得られる。
• 結果として得られる部分因子のジョーンズ指数と標準不変量は、A. ワッサーマンが開発した技法を用いて計算可能である。
• コンパクト群の部分群から生じる部分因子、コンパクト群の射影的表現、有限量子群、離散群から生じる部分因子は、すべてこの構成の特別な場合である。
• この枠組みにより、頂点模型およびスピン模型から生じる部分因子が、共通の量子群対称性機構の下で統一的に扱える。
• $C^*$-代数と $II_1$ 因子の使用により、得られる代数は有限指数をもつwell-behavedなフォン・ノイマン代数である。
• この構成により、量子群の対称性が、広範なクラスの部分因子の生成と分類の普遍的メカニズムを提供することが示された。