[論文レビュー] Quantum Groups and Quantum Cohomology

Davesh Maulik, Andreĭ Okounkov|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 188

ひとこと要約

本稿では、任意のクイバー $Q$ に対して、ナカジマクイバー多様体の等置同調コホロロジーに作用するホップ代数としてのヤンゴリアン $Σ_Q$ を導入し、量子コホロロジーと三角関数的カシミール接続を結ぶ幾何的 $R$-行列形式を確立する。主な結果は、量子コホロロジーにおける除数作用素がヤンゴリアンのバクサー部分代数の元に対応することであり、$mathbb{C}^2$ 上の層のモジュライ空間に対しては、量子環がこれらの作用素によって生成され、コホロロジー上に $W$-代数作用が実現され、アールデイ、ガイオット、タチカワの予想が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper, we study the classical and quantum equivariant cohomology of Nakajima quiver varieties for a general quiver Q. Using a geometric R-matrix formalism, we construct a Hopf algebra Y_Q, the Yangian of Q, acting on the cohomology of these varieties, and show several results about their basic structure theory. We prove a formula for quantum multiplication by divisors in terms of this Yangian action. The quantum connection can be identified with the trigonometric Casimir connection for Y_Q; equivalently, the divisor operators correspond to certain elements of Baxter subalgebras of Y_Q. A key role is played by geometric shift operators which can be identified with the quantum KZ difference connection. In the second part, we give an extended example of the general theory for moduli spaces of sheaves on C^2, framed at infinity. Here, the Yangian action is analyzed explicitly in terms of a free field realization; the corresponding R-matrix is closely related to the reflection operator in Liouville field theory. We show that divisor operators generate the quantum ring, which is identified with the full Baxter subalgebras. As a corollary of our construction, we obtain an action of the W-algebra W(gl(r)) on the equivariant cohomology of rank $r$ moduli spaces, which implies certain conjectures of Alday, Gaiotto, and Tachikawa.

研究の動機と目的

• ナカジマクイバー多様体の等置同調量子コホロロジーの一般的構造理論を、幾何的 $R$-行列形式を用いて構築すること。
• ホップ代数としてのヤンゴリアン $\mathsf{Y}_Q$ を、これらの多様体のコホロロジーに作用する形で構成すること。
• 量子コホロロジーにおける除数による乗法が、$\mathsf{Y}_Q$ のバクサー部分代数の元に対応することを特定し、三角関数的カシミール接続と結びつけること。
• 自由場実現を用いて、$mathbb{C}^2$ 上の層のモジュライ空間に対してヤンゴリアン作用を明示的に実現し、$W$-代数作用を確立すること。
• 量子環が除数作用素によって生成され、全バクサー部分代数と同型であることを示すことにより、アールデイ、ガイオット、タチカワの予想を確認すること。

提案手法

• ナカジマクイバー多様体上で幾何的 $R$-行列形式を用いて、ヤンゴリアン $\mathsf{Y}_Q$ をホップ代数として構成する。
• 安定な包絡体とトーラス固定点局所化を用いて、$R$-行列およびそのブレード関係を定義・特徴付ける。
• 除数による量子乗法を、$\mathsf{Y}_Q$ のバクサー部分代数内の作用素に対応させ、それが三角関数的カシミール接続に対応することを示す。
• 幾何的シフト作用素を用い、それが量子 KZ 差分接続に対応することを示し、量子コホロロジーと可積分系を結びつける。
• $\mathcal{M}(r,n)$ に対して、フォック空間における自由場表現を用いてヤンゴリアン作用を明示的に実現し、$R$-行列がリーマン・ヴィラスローゼ理論の反射作用素に関連することを示す。
• 全量子コホロロジー環が除数作用素によって生成され、かつこの作用がフォックモジュール上のヤンゴリアン作用の完備化として $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}(r))$-作用として現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナカジマクイバー多様体の量子コホロロジーは、ホップ代数作用を用いてどのように構造づけられるか？
• RQ2 $R$-行列の幾何的・代数的役割は、除数による量子乗法と可積分系を結ぶ上でどのように特定されるか？
• RQ3 量子コホロロジーにおける除数作用素は、ヤンゴリアンのバクサー部分代数のどの元に対応するか？
• RQ4 $mathbb{C}^2$ 上の層のモジュライ空間におけるヤンゴリアン作用は、どのように明示的に実現されるか？
• RQ5 $\mathcal{M}(r,n)$ の量子環は除数作用素から生成されるか？ そして、これはコホロロジー上に $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}(r))$-作用をもたらすか？

主な発見

• ヤンゴリアン $\mathsf{Y}_Q$ はナカジマクイバー多様体の等置同調コホロロジーに作用し、量子コホロロジー構造の幾何的実現を提供する。
• 除数による量子乗法は、$\mathsf{Y}_Q$ のバクサー部分代数内の作用素として実現され、量子接続は三角関数的カシミール接続と特定される。
• $\mathcal{M}(r,n)$ に対して、量子コホロロジー環は除数作用素によって生成され、かつこの環は $\mathsf{Y}_Q$ の全バクサー部分代数と同型である。
• $H^\bullet_{\mathsf{G}}(\mathcal{M}(r,n))$ 上の $W$-代数 $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}(r))$-作用は、フォック空間上のヤンゴリアン作用の完備化として実現され、AGT 予想が裏付けられる。
• $R$-行列はバーリン・ヴィラスローゼ代数のインターリーブ作用素として特定され、リーマン・ヴィラスローゼ理論の反射作用素と一致し、量子コホロロジーと 2D CFT 間の深い関係を確立する。
• 理論におけるシフト作用素は量子 KZ 差分接続に対応し、$R$-行列形式を用いてその相互作用性が証明される。