[論文レビュー] Quantum groups and quantum field theory: I. The free scalar field

Christian Brouder, Robert Oeckl|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、実スカラー量子場の代数が、対称代数 $ S(V) $ を基底とするホップ代数としての無限次元量子群であることを確立する。ここで、ウィック正規順序が積をなし、2点関数およびフェยマン propagator から導かれるコクアストリガニチュラ構造を用いて、演算子積と時序積が、正規順序積のねじれ変形として現れることを示す。これにより、量子群理論の枠組み内で、量子場理論の概念が統一される。

ABSTRACT

The quantum field algebra of real scalar fields is shown to be an example of infinite dimensional quantum group. The underlying Hopf algebra is the symmetric algebra S(V) and the product is Wick's normal product. Two coquasitriangular structures can be built from the two-point function and the Feynman propagator of scalar fields to reproduce the operator product and the time-ordered product as twist deformations of the normal product. A correspondence is established between the quantum group and the quantum field concepts. On the mathematical side the underlying structures come out of Hopf algebra cohomology.

研究の動機と目的

• 量子場理論と量子群の間の深い代数的関係を確立すること。
• 実スカラー場の代数が、基底となるホップ代数として対称代数 $ S(V) $ を持つ無限次元量子群であることを示すこと。
• 量子場理論における演算子積と時序積が、正規順序積のねじれ変形として生じることを示すこと。
• 交換関係に依存しない、ホップ代数コホモロジーの代数的構造を用いた第二量子化の枠組みを提供すること。
• 今後の研究においてフェルミオンや相互作用場へのこの形式主義の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 正規順序積のための基本的な代数的構造として、滑らか化された場演算子のなすベクトル空間 $ V $ 上の対称代数 $ S(V) $ を用いる。
• $ S(V) $ に、可換かつ結合的な積（正規順序）、余単位元（真空期待値）、コプロダクト（対角作用）、および反作用素（次数における符号反転）を備えたホップ代数構造を定義する。
• 2点関数およびフェイマン propagator からなるラプラス双対（コクアストリガニチュラ構造）を構成し、これにより量子場理論の相関データを符号化する。
• ラプラス双対を用いて $ S(V) $ 上にねじれ積を定義し、選択された propagator に応じて演算子積や時序積を再現する。
• 時序積に対しては、正規順序積と時序積を結ぶ指数写像としての代数的自己同型 $ T $ を導出する。
• ウィックの定理を援用し、ねじれ積が標準的な量子場理論の積を正確に再現することを厳密に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実スカラー量子場の代数は、自然に量子群として記述可能か？
• RQ2 量子場理論における演算子積と時序積は、どのように正規順序積の変形として生じるか？
• RQ3 2点関数およびフェイマン propagator は、$ S(V) $ 上のコクアストリガニチュラ構造を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 時序化写像 $ T $ は、量子群の枠組み内で、導来作用素の指数関数として代数的に表現可能か？
• RQ5 ホップ代数コホモロジーは、量子場理論におけるこれらの量子群構造の構成にどのように関与するか？

主な発見

• 実スカラー場の量子場代数が、基底となるホップ代数として $ S(V) $ を持つ無限次元量子群であることが示された。
• 量子場理論における演算子積と時序積が、2点関数およびフェイマン propagator から導かれるコクアストリガニチュラ構造を用いて、正規順序積のねじれ変形として実現された。
• 時序化写像 $ T $ は $ S(V) $ 上の代数的自己同型として構成され、導来作用素の指数関数として表現可能である。
• 自由場理論における時序積の真空期待値が、$ T $-写像を用いて簡潔に表現された。
• この枠組みは、ウィックの定理を代数的恒等変換に置き換える、代数的で組合せ論的でない量子場理論のアプローチを提供する。
• 数学的構造は、ホップ代数コホモロジーから自然に生じ、量子場理論と深い代数的位相幾何学を結びつける。