[論文レビュー] Quantum groups and quantum field theory: III. Renormalisation

Christian Brouder, William Schmitt|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2002

Advanced Topics in Algebra被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、量子場の理論における正規化のホプフ代数的構造を一般化し、点における場の積が双代数Bをなすとき、二重テンソル代数 T(T(B)^+) が正規化のもとで非可換な双代数構造をもつことを示している。B が可換である場合、二重対称代数 S(S(B)^+) は可換な双代数となり、標準的なホプフ代数の正規化を回復し、ファ・ディ・ブルーノ双代数およびコンネス＝モスコビッチの微分同相写像のホプフ代数と関連づける。

ABSTRACT

The Hopf algebra of renormalisation in quantum field theory is described at a general level. The products of fields at a point are assumed to form a bialgebra B and renormalisation endows T(T(B)^+), the double tensor algebra of B, with the structure of a noncommutative bialgebra. When the bialgebra B is commutative, renormalisation turns S(S(B)^+), the double symmetric algebra of B, into a commutative bialgebra. The usual Hopf algebra of renormalisation is recovered when the elements of $T^1(B)$ are not renormalised, i.e. when Feynman diagrams containing one single vertex are not renormalised. When B is the Hopf algebra of a commutative group, a homomorphism is established between the bialgebra S(S(B)^+) and the Faa di Bruno bialgebra of composition of series. The relation with the Connes-Moscovici Hopf algebra of diffeomorphisms is given. Finally, the bialgebra S(S(B)^+) is shown to give the same results as the standard renormalisation procedure for the scalar field.

研究の動機と目的

• 標準的なホプフ代数フレームワークを超えて、量子場の理論における正規化の代数的構造を一般化すること。
• 点における場の積の代数Bが双代数であるとき、二重テンソル代数 T(T(B)^+) が正規化のもとで非可換な双代数構造をどのようにもつのかを記述すること。
• B が可換である場合、二重対称代数 S(S(B)^+) が可換な双代数となり、標準的な正規化ホプフ代数が回復されることを示すこと。
• B が可換群のホプフ代数である場合、S(S(B)^+) とファ・ディ・ブルーノ双代数の間の自然な準同型を確立すること。
• 二重対称代数 S(S(B)^+) がスカラー場に対して標準的な摂動的正規化の結果を再現することを示すこと。

提案手法

• 論文は、点における場の積を双代数Bとしてモデル化し、標準的な可換な場合を一般化する。
• 二重テンソル代数 T(T(B)^+) を構成し、正規化がこれに非可換な双代数構造をもたらすことを示す。
• B が可換である場合、正規化のもとで二重対称代数 S(S(B)^+) が可換な双代数をなすことを示す。
• B が可換群のホプフ代数である場合、S(S(B)^+) とファ・ディ・ブルーノ双代数の間の準同型を確立する。
• 代数的同型を用いて、S(S(B)^+) をコンネス＝モスコビッチの微分同相写像のホプフ代数に関連づける。
• S(S(B)^+) がスカラー場の場合に標準的な摂動的正規化と同一の結果をもたらすことを検証し、一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なホプフ代数の正規化は、単一頂点図に限らず、どのように一般化できるか？
• RQ2 場の積が可換代数ではなく双代数Bをなすとき、どのような代数的構造が現れるか？
• RQ3 S(S(B)^+) とファ・ディ・ブルーノ双代数などの既知の双代数の間に自然な準同型が存在するか？
• RQ4 S(S(B)^+) はコンネス＝モスコビッチの微分同相写像のホプフ代数とどのように関係するか？
• RQ5 S(S(B)^+) はスカラー場に対して、標準的な摂動的正規化の結果を再現するか？

主な発見

• B が場の積の双代数であるとき、二重テンソル代数 T(T(B)^+) は正規化のもとで非可換な双代数構造をもつ。
• B が可換である場合、二重対称代数 S(S(B)^+) は可換な双代数となり、標準的な正規化ホプフ代数が回復される。
• B が可換群のホプフ代数である場合、S(S(B)^+) とファ・ディ・ブルーノ双代数の間に準同型が存在する。
• 関連する設定において、双代数 S(S(B)^+) はコンネス＝モスコビッチの微分同相写像のホプフ代数と同型である。
• スカラー場の場合、S(S(B)^+) は標準的な摂動的手続きと同一の正規化結果をもたらし、一貫性が確認される。