[論文レビュー] Quantum groups and zeta-functions

Kimio Ueno, Michitomo Nishizawa|ArXiv.org|Aug 26, 1994

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ひとこと要約

本稿では、量子群 SU_q(2) のスペクトルゼータ関数を介して、ハーディット・ゼータ関数の qアナログを導入し、s = -r + δl における極を除き、複素平面全体へのメロモーレンフィックな拡張を確立する。オイラー＝マクローリンの和公式を用いて、超幾何関数の無限級数表現を導出し、オイラーのディログラミット関数が漸近展開における主要項として現れることを明らかにし、q-ゼータ関数が一般化超幾何関数および多ログラミット関数と関連することを示す。

ABSTRACT

A $q$-analogue of the Hurwitz zeta-function is introduced through considerations on the spectral zeta-function of quantum group $SU_{q}(2)$, and its analytic aspects are studied via the Euler-MacLaurin summation formula. Asymptotic formulas of some relevant $q$-functions are discussed.

研究の動機と目的

• 量子群 SU_q(2) のスペクトルゼータ関数に基づいて、ハーディット・ゼータ関数の qアナログを構成すること。
• この q-ゼータ関数の解析的性質を研究すること。特に、メロモーレンフィックな拡張および s=0 におけるローラン展開を含む。
• オイラー＝マクローリンの和公式を用いて漸近展開を導出し、q-ゼータ関数が超幾何関数および多ログラミット関数とどのように関連するかを明らかにすること。
• 古典的極限（q→1−0）を検討し、qポッホハマー記号のラマヌジャンの漸近公式などの既知の結果がどのように回復されるかを示すこと。
• リーマン・ゼータ関数の関数等式に類似した、q-ハーディット・ゼータ関数の関数等式を確立すること。

提案手法

• q-ハーディット・ゼータ関数を ζ(s,z:q) = ∑_{k=0}^∞ q^{s(k+1)} / [k+z]_q^s として定義する。ここで [x]_q = (1−q^x)/(1−q) である。
• 二項展開を用いて、系列を Pochhammer 記号 (s)_r と q に関する有理関数を含む形に書き直し、解析接続を可能にする。
• オイラー＝マクローリンの和公式を適用し、q-ゼータ関数を超幾何関数の無限和と積分型剰余項の和として表現する。
• オイラーのディログラミット関数 Li_2(x) = ∑_{n=1}^∞ x^n / n^2 が、q-ガンマ関数および q-ポッホハマー記号の漸近展開における主要項として現れることを特定する。
• リーマン・ゼータ関数の関数等式を一般化した、q-ハーディット・ゼータ関数の関数等式を導出する。
• 周期的ベルヌーイ関数の有界性を用いて、オイラー＝マクローリン展開の剰余項を評価し、0 < q ≤ 1 に対して一様に有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU_q(2) のスペクトルゼータ関数から、ハーディット・ゼータ関数の qアナログを体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 q-ハーディット・ゼータ関数のメロモーレンフィック構造は何か？古典的ハーディット・ゼータ関数とはどのように異なるか？
• RQ3 オイラー＝マクローリンの公式を用いたとき、q-ガンマ関数および q-シフト階乗 (q^a; q^b)_∞ の漸近展開としてどのような形が得られるか？
• RQ4 q-ゼータ関数の古典的極限（q→1−0）は、q-ポッホハマー積のラマヌジャンの公式をどのように回復するか？
• RQ5 q-ハーディット・ゼータ関数は、リーマン・ゼータ関数の関数等式に類似した関数等式を満たすか？

主な発見

• q-ハーディット・ゼータ関数 ζ(s,z:q) は、r ∈ ℤ≥₀ および l ∈ ℤ に対して s = -r + δl に単純極を持つことから、複素平面全体にメロモーレンフィックに拡張可能である。ここで δ = 2πi/log q である。
• s=0 におけるローラン展開は、留数 α_{-1} = -1/log q の単純極をもち、定数項 α_0 は 1/2 - log(q - q²)/log q で与えられる。
• オイラー＝マクローリン展開により、ζ(s,z:q) はベルヌーイ数と周期的ベルヌーイ関数の積分を含む和として表現され、剰余項は q に対して一様に有界である。
• オイラーのディログラミット関数 Li_2(x) は、log Γ(z:q) の漸近展開における支配的項として現れ、q-ゼータ関数が多ログラミット的構造と関連することを示す。
• q-ゼータ関数の古典的極限 q→1−0 において、ハーディット・ゼータ関数が再現され、(q^a; q^b)_∞ の漸近公式が回復される。誤差項は O(log q) を含む。
• リーマン・ゼータ関数の関数等式を一般化した、q-ハーディット・ゼータ関数の関数等式が確立され、(q^a; q^b)_∞ の漸近的挙動に π²/(6b log q) および log Γ(a/b) の項が現れることが示された。