[論文レビュー] Quantum Groups, Non-Commutative Differential Geometry and Applications

Peter Schupp|ArXiv.org|Dec 10, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本博士論文は、量子群と非可換微分幾何学を用いて、非可換な量子空間における幾何的微分計算を構築する。双不変な微分作用素代数を、関数の双対ホップ代数と左不変ベクトル場の双対ホップ代数を組み合わせることで構成し、接 bundle の構成、BRST 型ゲージ理論、および微視的エントロピー保存を破る一般化された時間発展を可能にする。これは、量子物理学への応用における新しい数学的ツールを提供する。

ABSTRACT

The topic of this thesis is the development of a versatile and geometrically motivated differential calculus on non-commutative or quantum spaces, providing powerful but easy-to-use mathematical tools for applications in physics and related sciences. A generalization of unitary time evolution is proposed and studied for a simple 2-level system, leading to non-conservation of microscopic entropy, a phenomenon new to quantum mechanics. A Cartan calculus that combines functions, forms, Lie derivatives and inner derivations along general vector fields into one big algebra is constructed for quantum groups and then extended to quantum planes. The construction of a tangent bundle on a quantum group manifold and an BRST type approach to quantum group gauge theory are given as further examples of applications. The material is organized in two parts: Part I studies vector fields on quantum groups, emphasizing Hopf algebraic structures, but also introducing a `quantum geometric' construction. Using a generalized semi-direct product construction we combine the dual Hopf algebras \A\ of functions and \U\ of left-invariant vector fields into one fully bicovariant algebra of differential operators. The pure braid group is introduced as the commutant of $Δ(\U)$. It provides invariant maps $\A o \U$ and thereby bicovariant vector fields, casimirs and metrics. This construction allows the translation of undeformed matrix expressions into their less obvious quantum algebraic counter parts. We study this in detail for quasitriangular Hopf algebras, giving the determinant and

研究の動機と目的

• 非可換または量子空間における幾何的かつ包括的な微分計算を確立すること。
• 特に2準位系において、ユニタリ時間発展を一般化し、新しい量子力学的現象を探索すること。
• 関数、微分形式、リー微分、ベクトル場を1つの双不変構造に統合する包括的な代数的枠組みを構築すること。
• 形式的体系を量子群および量子平面へと拡張し、ゲージ理論と幾何学への応用を可能にすること。
• ブレース群構造とカシミール要素を用いて、古典的行列式をその量子代数的同等物へ体系的に翻訳すること。

提案手法

• 関数の双対ホップ代数 A と左不変ベクトル場の双対ホップ代数 U を一般化された半直積で結合し、完全に双不変な微分作用素代数を構築する。
• 純ブレース群を Δ(U) の中心化群として導入し、これにより A → U の不変写像を定義し、双不変ベクトル場およびカシミール要素を生成する。
• クェイストリァンプルホップ代数に形式的体系を適用し、行列式などの古典的不変量の量子アナロジーを導出する。
• 微分形式、リー微分、内積微分を1つの非可換代数的構造に統合するカルタン計算を構築する。
• 量子群多様体上の接 bundle を構築し、量子群ゲージ理論に BRST 型アプローチを適用する。
• 双不変微分計算を用いて時間発展を一般化し、2準位系において微視的エントロピー保存が破れる現象を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な量子空間上に一貫性があり幾何的な微分計算をどのように定式化できるか？
• RQ2 量子群論的アナロジーとしての古典的ベクトル場および微分形式とは何か、そしてそれらを代数的にどのように統合できるか？
• RQ3 微視的エントロピー保存を破る一般化された時間発展を量子系に定義可能か？その意味は何か？
• RQ4 ブレース群構造とカシミール要素は、双対代数におけるコプロダクトの中心化群からどのように導かれるか？
• RQ5 微分幾何学における古典的行列式を、どのように体系的にその量子代数的同等物に翻訳できるか？

主な発見

• 関数の双対ホップ代数と左不変ベクトル場の双対ホップ代数を一般化された半直積で結合することで、完全に双不変な微分作用素代数が構築された。
• 純ブレース群が Δ(U) の中心化群として同定され、双不変ベクトル場、カシミール要素、不変計量を生成するメカニズムが提供された。
• 関数、形式、リー微分、内積微分を統合するカルタン計算が、量子群および量子平面に実現された。
• 開発された微分計算を用いて、量子群多様体上に接 bundle 構造を成功裏に定義した。
• 量子群ゲージ理論に BRST 型形式的体系を構築し、非可換な設定へとゲージ理論的手法を拡張した。
• 2準位量子系における一般化された時間発展を提案し、微視的エントロピー保存の非保存性を導いた。これは、量子力学における新規な現象である。