[論文レビュー] Quantum groups, non-commutative Lorentzian spacetimes and curved momentum spaces

Iván Gutiérrez-Sagredo, Ángel Ballesteros+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子群の$κ$-変形を用いて、(1+1)次元および(2+1)次元における非可換(反-)de Sitter時空および曲がった運動量空間の体系的構成を提示する。スクライニン括弧と古典的$r$-行列に基づくポアソン-リー構造を用いることで、宇宙定数$\Lambda \to 0$の極限でミンコフスキーの場合に滑らかに還元される、変形された時空対称性および運動量空間の軌道を導出する。これにより、プランクスケールの変形を伴う量子重力の現象論的枠組みが統一的に提供される。

ABSTRACT

The essential features of a quantum group deformation of classical symmetries of General Relativity in the case with non-vanishing cosmological constant $Λ$ are presented. We fully describe (anti-)de Sitter non-commutative spacetimes and curved momentum spaces in (1+1) and (2+1) dimensions arising from the $κ$-deformed quantum group symmetries. These non-commutative spacetimes are introduced semiclassically by means of a canonical Poisson structure, the Sklyanin bracket, depending on the classical $r$-matrix defining the $κ$-deformation, while curved momentum spaces are defined as orbits generated by the $κ$-dual of the Hopf algebra of quantum symmetries. Throughout this construction we use kinematical coordinates, in terms of which the physical interpretation becomes more transparent, and the cosmological constant $Λ$ is included as an explicit parameter whose $Λ ightarrow 0$ limit provides the Minkowskian case. The generalization of these results to the physically relevant (3+1)-dimensional deformation is also commented.

研究の動機と目的

• 非ゼロの宇宙定数$\lambda$が存在する状況下で、$\kappa$-変形時空対称性と運動量空間幾何の統一的記述を達成すること。
• Deformed Special Relativityの枠組みを、$\kappa$-変形された(反-)de Sitter群を組み込むことによって曲がった時空へと拡張すること。
• 非可換時空および運動量空間の力学的座標に基づく記述を提供し、物理的解釈可能性を保証すること。
• 時空および運動量空間構造において、$\Lambda \to 0$の極限でミンコフスキー極限が滑らかに回復されることを示すこと。
• 変形された対称性の双対ポアソン-リー群と、曲がった運動量空間を軌道として持つ幾何的対応関係を確立すること。

提案手法

• 古典的$r$-行列によって定義されるコブランディ・リーバイアブルト構造を用い、(1+1)次元および(2+1)次元におけるローレンツ的運動論的群の$\kappa$-変形を生成する。
• スクライニン括弧を用いて、普遍包あらたな代数$\mathcal{U}_z(\mathfrak{g}^{d}_{\Lambda})$上にポアソンホップ代数を構成し、これにより非可換時空の代数を符号化する。
• 時空座標を表現し、基本的なポアソン括弧を導出するために、(反-)de Sitter群およびポアンカレ群における第2種指数座標を用いる。
• 非可換時空をポアソン-リー群作用を介して導出し、変形された対称性群による不変性を保証する。
• 変形された対称代数の双対ポアソン-リー群を計算し、運動量空間を双対群作用の軌道として定義する。
• 双対群の軌道構造を分析することで、運動量空間上の変形された分散関係を明示的に構成し、曲率が$\Lambda$に起因することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの宇宙定数を持つ状況下で、(1+1)次元および(2+1)次元における(反-)de Sitter群の$\kappa$-変形を一貫的に定式化する方法は何か？
• RQ2 宇宙定数$\Lambda$が存在する状況下で、スクライニン括弧から導かれる非可換時空代数の明示的形は何か？
• RQ3 $\kappa$-変形された対称代数の双対ポアソン-リー群から、運動量空間幾何はどのようにして出現するか？
• RQ4 双対赤方偏移および双対レンズ効果といった観測可能な効果の観点から、運動量空間の曲率の物理的解釈は何か？
• RQ5 変形された時空および運動量空間構造は、$\Lambda \to 0$の極限でどのようにして標準的なミンコフスキーの場合に還元されるか？

主な発見

• 非可換時空は、(反-)de Sitter群上のポアソン-リー構造によって完全に記述され、基本的なポアソン括弧はスクライニン括弧および$r$-行列から導出される。
• 運動量空間は、双対ポアソン-リー群の軌道として実現され、$n=1,2$の場合に$2n+1$次元における半分のde Sitter空間を明示的に得る。
• 運動量空間上の変形された分散関係は、軌道構造から導出され、宇宙定数$\Lambda$に明示的に依存しており、$\Lambda \neq 0$によって曲率が誘導される。
• $\Lambda \to 0$の極限において、時空および運動量空間構造の両方が標準的なミンコフスキーの場合に再現され、特殊相対性理論と一貫していることが確認される。
• 時空座標$\{x^0, x^1, x^2, \xi^1, \xi^2, \theta\}$を用いることで、時間、空間、ブースト、回転の直接的な物理的解釈が可能となり、構成の幾何的明瞭性が向上する。
• 等長群上の左不変および右不変ベクトル場が、これらの座標を用いて明示的に計算され、変形された時空対称性の完全な微分幾何的記述が可能になる。