[論文レビュー] Quantum groups of GL(2) representation type

Colin Mrozinski|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特性0の代数的閉体上でのコセミシンプルなホップ代数を分類し、そのコリプレゼンテーション半群が $GL(2)$ と同型であるものである。Tannaka-Krein双対性と、二重線形形式を含む行列関係で定義される新しいホップ代数族 $\mathcal{G}(A,B)$ を用いて、量子 $GL_q(2)$ とモノイダル同値であることを確立し、行列不変量と $q$ の一般性条件に基づく完全な同型分類を提供する。主な貢献は、可逆行列をパrameterとする普遍代数を用いた、$GL(2)$ 型量子群の構造的・カテゴリカルな分類である。

ABSTRACT

We classify the cosemisimple Hopf algebras whose corepresentation semi-ring is isomorphic to that of GL(2). This leads us to define a new family of Hopf algebras which generalize the quantum similitude group of a non-degenerate bilinear form. A detailed study of these Hopf algebras gives us an isomorphic classification and the description of their corepresentation categories.

研究の動機と目的

• 特性0の代数的閉体上でのコセミシンプルなホップ代数を、そのコリプレゼンテーション半群が $GL(2)$ と同型であるものすべてについて分類すること。
• 非退化な二重線形形式に対する量子シミリチュード群の構成を、非退化な二重線形形式に対して一般化し、新たなホップ代数族 $\mathcal{G}(A,B)$ を定義すること。
• 行列条件を満たす場合に限り、$\mathcal{G}(A,B)$ と $\mathcal{O}(GL_q(2))$ のコモジュール圏がモノイダル同値であることを確立すること。
• 行列不変量と $q$ の一般性条件を用いて、このようなホップ代数の完全な同型分類を提供すること。
• 分類をコンパクトな場合にまで拡張し、双ガロア対象とコhomological不変量を分析すること。

提案手法

• 二重線形形式の対称性を記述する関係 $x^t A x = A d$, $x B x^t = B d$, $d d^{-1} = 1$ を持つ、生成元 $x_{ij}, d, d^{-1}$ を持つ普遍ホップ代数 $\mathcal{G}(A,B)$ を定義する。
• $\mathcal{G}(A,B)$ に、コ乗法 $\Delta(x_{ij}) = \sum_k x_{ik} \otimes x_{kj}$、余単位 $\varepsilon(x_{ij}) = \delta_{ij}$、反対合 $S(x) = d^{-1} A^{-1} x^t A$ を用いてホップ代数構造を与える。
• Tannaka-Krein双対性と、Schauenburgのホップ双ガロア対象に関する定理を用いて、$B^t A^t B A = \lambda I_n$ かつ $q$ が二次方程式を満たす条件の下で、$\mathrm{Comod}(\mathcal{G}(A,B))$ と $\mathrm{Comod}(\mathcal{O}(GL_q(2)))$ の間のモノイダル同値性を証明する。
• 還元可能な単項式の基底と $d$ の非退化性に依存する、$\mathcal{G}(A,B)$ と $\mathcal{O}(GL_q(2))$ を結ぶ連結コ群族を構成し、diamond lemma を用いて同値性を証明する。
• 分類を適用して同型条件を導出する：$\mathcal{G}(A,B) \cong \mathcal{G}(C,D)$ となるのは、$n=m$ かつ $C,D$ が行列 $P$ もしくはその逆行列転置による共役によって $A,B$ と関係づけられるときである。
• $\mathcal{G}(A,B)$-ガロア対象、その群、およびラジオコホモロジーを分析し、結果をコンパクトな場合にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の代数的閉体上でのコセミシンプルなホップ代数の中で、コリプレゼンテーション半群が $GL(2)$ と同型であるものはどれか？
• RQ2 $\mathcal{G}(A,B)$ のコモジュール圏が、どのような条件下で $\mathcal{O}(GL_q(2))$ のコモジュール圏とモノイダル同値になるか？
• RQ3 行列制約 $B^t A^t B A = \lambda I_n$ を満たすとき、二つのホップ代数 $\mathcal{G}(A,B)$ と $\mathcal{G}(C,D)$ が同型となる条件は何か？
• RQ4 パrameter $q$ は分類において果たす役割は何か？また、$q$ の一般性が $\mathcal{G}(A,B)$ の構造に与える影響は？
• RQ5 $\mathcal{G}(A,B)$ のホップ双ガロア対象およびラジオコホモロジーは、そのモノイダル的・構造的性質とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathcal{G}(A,B)$ のコモジュール圏は、$B^t A^t B A = \lambda I_n$ かつ $q$ が $q^2 - \sqrt{\lambda^{-1}} \operatorname{tr}(AB^t) q + 1 = 0$ を満たすとき、$\mathcal{O}(GL_q(2))$ のコモジュール圏とモノイダル同値である。
• コリプレゼンテーション半群が $GL(2)$ と同型であるすべてのコセミシンプルなホップ代数は、$B^t A^t B A = \lambda I_n$ を満たし、$q$ が根の単位根でも $\pm 1$ でもない一般性を持つ $A,B \in GL_n(k)$ に対して、$\mathcal{G}(A,B)$ と同型である。
• $\mathcal{G}(A,B)$ と $\mathcal{G}(C,D)$ が同型であるための必要十分条件は、$n = m$ かつ、ある $P \in GL_n(k)$ が存在して、$(C,D) = (P^t A P, P^{-1} B P^{-1t})$ または $(C,D) = (P^t B^{-1} P, P^{-1} A^{-1} P^{-1t})$ と表せることである。
• $\mathcal{G}(A,B)$ は還元可能な単項式の基底を備え、$d$ はゼロ因子でないため、代数は非ゼロであり、局域化においても適切に振る舞う。
• $\mathcal{G}(A,B)$ はdiamond lemma を用いて非退化で整然とした構造を持つことが示され、PBW型の基底の存在が確認された。
• 分類はコンパクトな場合にまで拡張可能であり、$\mathcal{G}(A,B)$-双ガロア対象の群およびそのラジオコホモロジー群が完全に記述された。