[論文レビュー] Quantum Groups, Roots of Unity and Particles on quantized Anti-de Sitter Space

Harold Steinacker|ArXiv.org|May 28, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$U_q(so(2,3))$ を根の単位で用いた量子群フレームワークを提案し、量子化された反ド・ジッター空間上の粒子を記述する。半整数スピンおよび整数スピンのすべての物理的1粒子状態に対して、有限次元かつユニタリな表現が得られ、古典的極限も正しく得られる。中心的要素 $Q$ はBRST作用素として機能し、ユニタリな多粒子状態の構成を可能にするとともに、可約でない表現における固有のゴースト構造を明らかにする。これは、非可換時空間上の量子場理論におけるテンソル積の一般化である。

ABSTRACT

Quantum groups in general and the quantum Anti-de Sitter group $U_q(so(2,3))$ in particular are studied from the point of view of quantum field theory. We show that if $q$ is a suitable root of unity, there exist finite-dimensional, unitary representations corresponding to essentially all the classical one-particle representations with (half)integer spin, with the same structure at low energies as in the classical case. In the massless case for spin $\geq 1$, the "naive" representations are unitarizable only after factoring out a subspace of "pure gauges", as classically. Unitary many-particle representations are defined, with the correct classical limit. Furthermore, we identify a remarkable element $Q$ in the center of $U_q(g)$, which plays the role of a BRST operator in the case of $U_q(so(2,3))$ at roots of unity, for any spin $\geq 1$. The associated ghosts are an intrinsic part of the indecomposable representations. We show how to define an involution on algebras of creation and anihilation operators at roots of unity, in an example corresponding to non-identical particles. It is shown how nonabelian gauge fields appear naturally in this framework, without having to define connections on fiber bundles. Integration on Quantum Euclidean space and sphere and on Anti-de Sitter space is studied as well. We give a conjecture how $Q$ can be used in general to analyze the structure of indecomposable representations, and to define a new, completely reducible associative (tensor) product of representations at roots of unity, which generalizes the standard "truncated" tensor product as well as our many-particle representations.

研究の動機と目的

• $U_q(so(2,3))$ を根の単位で用いた有限次元ユニタリ表現を構成し、任意の半整数スピンおよび整数スピンを持つ物理的1粒子状態に対応させる。
• 質量なしの高スピン場におけるユニタリティの問題を、'純粋なゲージ'自由度を因数分解することで解決し、古典的処理に類似させる。
• 量子群フレームワークにおいて、正しい古典的極限を有する一貫したユニタリな多粒子表現を定義する。
• 可約でない表現におけるゴースト自由度を符号化する、$U_q(g)$ の中心的要素 $Q$ がBRST作用素として機能することを同定する。
• 標準的な切断テンソル積を一般化し、完全に可約でかつ結合的である新しいテンソル積を $Q$ を用いて定義し、根の単位における量子場理論に適用可能にする。

提案手法

• 根の単位における量子群 $U_q(so(2,3))$ を用いて、量子反ド・ジッター代数のユニタリ表現を構成する。
• 質量なしの高スピン表現において、'純粋なゲージ'モードを因数分解する修正されたユニタリティ条件を適用し、古典的BRST手続きに類似させる。
• 同一でない粒子の生成・消滅演算子に自己対応（involution）を定義し、フォック空間構成におけるエルミート性と一貫性を保証する。
• $Q \in Z(U_q(g))$ である中心的要素を導入し、$Q^2 = 0$ を満たし、可約でない表現内でのゴースト状態を生成するBRST作用素として機能させる。
• $Q$ を用いて新しい結合的で完全に可約な表現のテンソル積を構成し、標準的な切断積を一般化する。
• 量子対称空間、特に量子ユークリッド空間、球面、反ド・ジッター空間における統合を研究し、場の理論的構成を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根の単位における $U_q(so(2,3))$ の有限次元ユニタリ表現が、半整数スピンおよび整数スピンのすべての古典的1粒子状態、特に質量なしの高スピン場を記述できるか？
• RQ2 ナーブな表現空間がユニタリでない場合に、質量なしの高スピン表現におけるユニタリティをどのように保てるか？
• RQ3 中心的要素 $Q$ は可約でない表現の構造においてどのような役割を果たし、一貫したBRSTに類似たコホモロジーを定義するために使用できるか？
• RQ4 根の単位において、標準的な切断積を一般化し、結合的かつ完全に可約な新しい表現のテンソル積をどのように定義できるか？
• RQ5 非アーベルゲージ場は、幾何的ファイバー束形式主義を明示的に必要とせず、この量子群フレームワーク内で自然にどのように現れるか？

主な発見

• $q$ が適切な根の単位であるとき、半整数スピンおよび整数スピンのすべての古典的1粒子状態に対して、有限次元かつユニタリな表現が存在し、古典的低エネルギー構造が保存される。
• スピン $\geq 1$ の質量なしの場合、ユニタリティは、古典理論と同様に、'純粋なゲージ'モードの部分空間を商することでのみ達成される。
• 中心的要素 $Q \in Z(U_q(so(2,3)))$ は $Q^2 = 0$ を満たし、BRST作用素として機能する。関連するゴースト状態は、可約でない表現の内在的構成要素である。
• $Q$ を用いて定義された新しい結合的かつ完全に可約な表現のテンソル積は、標準的な切断積を一般化し、一貫した多粒子状態の構成を可能にする。
• 非アーベルゲージ場は、幾何的ファイバー束形式主義を必要とせず、量子群の代数的構造から自然に現れる。
• 反ド・ジッター空間を含む、量子対称空間における統合は一貫して定義され、非可換時空間上での量子場理論の構成を支援する。