[論文レビュー] Quantum harmonic oscillators and Feynman-Kac path integrals for linear diffusive particles

Pierre Del Moral, Emma Horton|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

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ひとこと要約

本稿では、線形拡散粒子と二次ポテンシャルを有する多次元量子調和振動子に対して、連続時間代数的リャプノフ方程式を用いて基底状態および零点エネルギーを明示的に解明する解析的解を提示する。時間依存線形系とリャプノフ方程式を介して、正確なファインマン・アッカ・経路積分解を導出し、ワッサースタイン距離および相対エントロピー距離における非漸近的指数的減衰推定を確立するとともに、可逆ケースにおける全スペクトル的特徴付け（励起状態を含む）および関数不等式についても提示する。

ABSTRACT

We propose a new solvable class of multidimensional quantum harmonic oscillators for a linear diffusive particle and a quadratic energy absorbing well associated with a semi-definite positive matrix force. Under natural and easily checked controllability conditions, the ground state and the zero-point energy are explicitly computed in terms of a positive fixed point of a continuous time algebraic Riccati matrix equation. We also present an explicit solution of normalized and time dependent Feynman-Kac measures in terms of a time varying linear dynamical system coupled with a differential Riccati matrix equation. A refined non asymptotic analysis of the stability of these models is developed based on a recently developed Floquet-type representation of time varying exponential semigroups of Riccati matrices. We provide explicit and non asymptotic estimates of the exponential decays to equilibrium of Feynman-Kac semigroups in terms of Wasserstein distances or Boltzmann-relative entropy. For reversible models we develop a series of functional inequalities including de Bruijn identity, Fisher's information decays, log-Sobolev inequalities, and entropy contraction estimates. In this context, we also provide a complete and explicit description of all the spectrum and the excited states of the Hamiltonian, yielding what seems to be the first result of this type for this class of models. We illustrate these formulae with the traditional harmonic oscillator associated with real time Brownian particles and Mehler's formula. The analysis developed in this article can also be extended to solve time dependent Schrodinger equations equipped with time varying linear diffusions and quadratic potential functions.

研究の動機と目的

• 線形拡散粒子と二次ポテンシャルエネルギーを有する多次元量子調和振動子の解けるクラスの構築。
• 連続時間代数的リャプノフ行列方程式の正の不動点を用いて、基底状態および零点エネルギーを明示的に計算すること。
• 時間変動する線形力学系と微分リャプノフ方程式を結合させることで、時間依存フェイマン・アッカ測度を正確に導出すること。
• ワッサースタインおよびボルツマン相対エントロピー距離におけるフェイマン・アッカ半群の非漸近的指数的減衰推定を確立すること。
• ハミルトニアンの完全なスペクトル的記述（すべての励起状態を含む）を提供し、可逆ケースにおける関数不等式（例：対数ソボレフ不等式、ポンカラレ不等式）を証明すること。

提案手法

• ハミルトニアン作用素 H = -L + V を定式化し、L はドリフト行列 A と拡散行列 R を持つ線形拡散の生成作用素であり、V は行列 S を持つ二次ポテンシャルである。
• 運動エネルギーの局在化を補償するため、(A, R^{1/2}) および (A^T, S^{1/2}) の可制御性条件を課す。
• リャプノフ行列方程式のフロケ型分解に基づく時間依存指数的半群表現を用いる。
• 条件付き期待値 E[X_t | F_s] を用いた経路積分公式を通じて、V(X_u) の時間積分を吸収させることでフェイマン・アッカ伝播子 K_t を導出する。
• 等長変換（Φ_h を通じて）を適用し、時間非一様問題を時間一様なスペクトル問題に写像する。
• リャプノフ行列方程式を用いて不変測度および関連する半群の時間発展を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形拡散粒子を有する量子調和振動子の基底状態および零点エネルギーを明示的に計算できる条件は何か？
• RQ2 線形拡散粒子と二次ポテンシャルを有する系において、時間依存フェイマン・アッカ測度を閉形式でどのように表現できるか？
• RQ3 ワッサースタインおよび相対エントロピー距離におけるフェイマン・アッカ半群の非漸近的指数的減衰率は何か？
• RQ4 このクラスのモデルにおけるハミルトニアン作用素の完全なスペクトル的分解（すべての励起状態を含む）は何か？
• RQ5 可逆ケースにおいて、不変測度に関して成り立つ関数不等式（例：ド・ブリュインの恒等式、フィッシャー情報量の減衰、対数ソボレフ不等式）は何か？また、それらは力学的ダイナミクスとどのように関係するか？

主な発見

• 基底状態および零点エネルギーは、連続時間代数的リャプノフ方程式の正の不動点として明示的に計算可能である。
• 時間依存フェイマン・アッカ測度は、時間変動する線形系と微分リャプノフ行列方程式を用いて解かれており、閉形式の経路積分解が得られる。
• ワッサースタイン距離および相対エントロピー距離における非漸近的指数的減衰率が導出され、スペクトルギャップおよび行列ノルムを用いた明示的評価が得られる。
• 可逆ケースでは、リャプノフ行列系の固有値を用いてハミルトニアンの全スペクトル（すべての励起状態を含む）が特徴付けられる。
• ド・ブリュインの恒等式、フィッシャー情報量の減衰、対数ソボレフ不等式などの関数不等式が、明示的な時間依存バウンドを伴って証明される。
• 本稿は、非自明で非対角的かつ非可逆な量子調和振動子のクラスについて、初めて完全かつ明示的なスペクトルおよび励起状態の記述を提供する。