[論文レビュー] Quantum heaps, cops and heapy categories

Zoran Škoda|ArXiv.org|Jan 25, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、単位を忘れたことで一般化されるホップ代数の一般化として、三項の協同作用を備えた結合的代数としての量子ヒープを導入し、コポイント付きの量子ヒープの圏とホップ代数の圏との同型を確立する。さらに、モノイダル圏における『コプ』を、ホップ代数の余代数に類似した構造として定義し、三項積構造を持つ表現の圏である『ヒーピー圏』——リジッドモノイダル圏の一般化——を導入する。

ABSTRACT

A heap is a structure with a ternary operation which is intuitively a group with forgotten unit element. Quantum heaps are associative algebras with a ternary cooperation which are to the Hopf algebras what heaps are to groups, and, in particular, the category of copointed quantum heaps is isomorphic to the category of Hopf algebras. There is an intermediate structure of a cop in monoidal category which is in the case of vector spaces to a quantum heap about what is a coalgebra to a Hopf algebra. The representations of Hopf algebras make a rigid monoidal category. Similarly the representations of quantum heaps make a kind of category with ternary products, which we call a heapy category.

研究の動機と目的

• 単位を忘れたことで一般化される、三項の協同作用を備えた結合的代数としての量子ヒープを導入し、群が単位を忘れたことで一般化されるのと同様に、ホップ代数を一般化すること。
• モノイダル圏における『コプ』を、ホップ代数の余代数に類似したカテゴリカルな類似物として定義し、三項の余乗法が結合的を満たすようにする。
• 対象の三項積関手を持つ圏、すなわちリジッドモノイダル圏のテンソル積構造を一般化する『ヒーピー圏』を導入すること。
• 自然な構成を用いて、リジッドモノイダル圏の圏とユニタルなヒーピー圏の圏との同値性を確立すること。
• ヒーピー圏における単位の役割を検討し、非ユニタルなヒーピー圏が非ユニタルなモノイダル圏よりも、非可換トロスルの文脈などにおいてより自然である可能性を示唆すること。

提案手法

• 量子ヒープを、結合的法則 (id⊗id⊗τ)∘τ = (τ⊗id⊗id)∘τ を満たす三項の余乗法 τ と備えた結合的代数として定義する。
• モノイダル圏におけるコプを、対象 C と、同じ結合的条件を満たす C → C⊗C⊗C の射 τ を持つものとして定義する。
• コプ C に対して、counit ε:C → 1 を、(id⊗ε⊗ε)∘τ = id = (ε⊗ε⊗id)∘τ を満たすように定義し、余代数のcounitを一般化する。
• 量子ヒープの表現の圏を構成し、作用 h·(a⊗b⊗c) = h^(1)·a ⊗ h^(2)·b ⊗ h^(3)·c を通じて、対象に三項積構造を誘導する。
• 関手 ⋄: C × C^op × C → C を A ⋄ B ⋄ C = (A ⊗ B^*) ⊗ C で定義し、ヒーピー圏を構成する。ここで B^* は B の双対である。
• 三項積の整合性同型を確立し、リジッドモノイダル圏のマクレーンの整合性条件を一般化してヒーピー圏を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ヒープから、単位を忘れてから再導入する文字（counit）を用いて、ホップ代数を再構成する方法は何か？
• RQ2 量子ヒープの表現のカテゴリカル構造は何か？ そして、リジッドモノイダル圏のテンソル積構造をどのように一般化するか？
• RQ3 ヒーピー圏における単位の役割は何か？ また、リジッドモノイダル圏における単位とどのように関係するか？
• RQ4 非可換トロスルの概念を、量子ヒープとそれに関連するコプ構造を用いて一般化できるか？
• RQ5 コヒープモノイドの公理はホップ代数の公理とどのように関係するか？ また、グリュンパンの元々の定式化における余分な公理の意味は何か？

主な発見

• コポイント付きの量子ヒープの圏はホップ代数の圏と同型であり、量子ヒープが単位を忘れたことで自然にホップ代数を一般化していることを示している。
• コヒープモノイドの文字は、基礎となるコプのcounitとして自動的に得られ、代数的キャラクターとカテゴリカルなcounitの間に直接的な関係が成立する。
• 量子ヒープの表現の圏は自然に三項積構造を備え、関手的三項積 A ⋄ B ⋄ C = (A ⊗ B^*) ⊗ C を持つヒーピー圏として実現される。
• リジッドモノイダル圏は、A ⋄ B ⋄ C = (A ⊗ B^*) ⊗ C の構成によりユニタルなヒーピー圏を導出し、逆にユニタルなヒーピー圏は Q₁ ⊗ Q₂ = Q₁ ⋄ 1 ⋄ Q₂ を用いてリジッドモノイダル構造を再構成する。
• 自然な整合性を用いてリジッドモノイダル圏とユニタルなヒーピー圏の圏の同値性が確立され、ヒーピー圏が非ユニタルな双対性の一般化の自然な枠組みであることが示唆される。
• 非ユニタルなヒーピー圏は、非可換トロスルの文脈などにおいて、非ユニタルなモノイダル圏よりも自然である可能性がある。これはトロスルの図式と、量子ヒープが非可換幾何学における役割から示唆される。