[論文レビュー] Quantum Image Representation Through Two-Dimensional Quantum States and Normalized Amplitude

Madhur Srivastava, Prasanta K. Panigrahi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、別個のmキュービットおよびnキュービットの量子状態を用いて行と列のピクセル位置を表し、追加のキュービットを用いずに正規化された振幅を通じてピクセルの強度を符号化することで、長方形および正方形の画像を最小限のキュービット数で純粋な量子表現として実現する、2次元量子状態と正規化振幅（2-D QSNA）と呼ばれる新しい量子画像表現手法を提案する。この手法により、準備の複雑さがなく、最小限のキュービット数で、純粋な量子表現が可能となり、効率的な量子画像処理が実現される。

ABSTRACT

We propose a novel method for image representation in quantum computers, which uses the two-dimensional (2-D) quantum states to locate each pixel in an image through row-location and column-location vectors for identifying each pixel location. The quantum state of an image is the linear superposition of the tensor product of the m-qubits row-location vector and the n-qubits column-location vector of each pixel. It enables the natural quantum representation of rectangular images that other methods lack. The amplitude/intensity of each pixel is incorporated into the coefficient values of the pixel's quantum state, without using any qubits. Due to the fact that linear superposition, tensor product and qubits form the fundamental basis of quantum computing, the proposed method presents the machine level representation of images on quantum computers. Unlike other methods, this method is a pure quantum representation without any classical components.

研究の動機と目的

• 量子重ね合わせとテンソル積を完全に活用する純粋な量子画像表現手法を開発すること。
• 従来の手法が正方形画像に限定されているのを克服し、長方形および正方形の両方の画像を量子的に表現できること。
• 強度を表す専用キュービットを用いずに、振幅係数にピクセル強度を符号化することにより、キュービット数を最小限に抑えること。
• 複雑な準備手順を排除し、直接的な物理的状態準備を可能にすることで、量子画像ハードウェアへの実装可能性を高めること。
• 正規化振幅表現により、マルチチャネルおよび実数値強度画像をサポートし、量子画像処理における広範な応用性を実現すること。

提案手法

• 本手法は、2次元画像グリッド内のピクセル座標を表すために、別個のmキュービット行位置ベクトルとnキュービット列位置ベクトルの2つの量子状態を使用する。
• 各ピクセルの量子状態は、その行位置状態と列位置状態のテンソル積によって構成され、画像全体の複合2次元量子状態が形成される。
• ピクセル強度（または振幅）は、対応するテンソル積状態の係数（振幅）に直接符号化され、追加のキュービットを必要としない。
• 全画像状態は、すべてのピクセル状態の正規化された重ね合わせである：$ |I angle = \frac{1}{\text{norm}} \bigotimes_{i,j} \big( \text{amplitude}_{ij} \times (|r_i\rangle \bigotimes |c_j\rangle) \big) $、ここで $ r_i $ および $ c_j $ は行および列インデックス状態を表す。
• 振幅値が正規化され、スカラー係数に格納されるため、本手法は任意の実数値強度をサポートし、ビット深度に依存しない。
• 他の手法（FRQI や NEQR など）が要請するような複雑な状態準備回路を必要とせず、本質的に純粋状態である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qubit 位置状態と振幅符号化のみを用いて、自然に長方形画像をサポートする量子画像表現を構築できるか？
• RQ2 追加のキュービットを消費せずに、ピクセル強度を量子状態に符号化する方法は何か？これによりデ coherent リスクを低減できるか？
• RQ3 超位置と位置状態のテンソル積のみを用いて2次元画像を表現するのに必要な最小キュービット数は何か？
• RQ4 複雑な状態準備手順を要しない純粋な量子状態表現が達成可能か？物理的実装が直接可能か？
• RQ5 FRQI や NEQR と比較して、本手法はマルチチャネルカラー画像および実数値強度にどのように一般化できるか？

主な発見

• 2-D QSNA 法は、$ 2^m \times 2^n $ 画像を表現するのに、FRQI（$ 2m+1 $）や NEQR（$ 2m+l $）と比較してはるかに少ない $ m + n $ キュービットで十分である。
• FRQI や NEQR がそれぞれ $ O(2^{4m}) $ および $ O(2^m) $ の演算を要するのに対し、本手法は追加の準備複雑さがなく、純粋状態準備が可能である。
• ピクセル強度は状態ベクトルの振幅係数に符号化されるため、強度を表す専用キュービットを必要とせず、デ coherent リスクが低減される。
• 正方形および長方形の両方の画像をサポートし、$ m \times n $ の任意の次元に一般化可能である。一方、FRQI や NEQR は $ 2^m \times 2^m $ グリッドに限定されている。
• 正規化振幅表現により、RGB などのマルチチャネルカラー画像や実数値強度への直接的な拡張が可能であり、式（14）および（15）で示されている。
• 4×4 画像の場合、本手法は4キュービット（行に2、列に2）で十分であり、全状態は16のピクセル状態の正規化された重ね合わせとして表現され、ピクセル強度から導かれる振幅を持つ。