[論文レビュー] Quantum Indeterminacy of Emergent Spacetime

Craig J. Hogan|ArXiv.org|Oct 22, 2007

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2+1次元の量子場理論からホログラフィー的写像によって生成される時空が、3+1次元幾何学に内在的な量子不確定性を示すことを提案している。光線軌道はプランクスケールの量子揺らぎのため、角度に不確定性を示す。主な結果として、有限な自由度の制限に起因し、共変的エントロピー限界と整合的な、測定可能なホログラフィックノイズ（パワー スペクトル密度 ≈ 2.3×10⁻²² Hz⁻¹/²）が得られる。

ABSTRACT

It is shown that nearly-flat 3+1D spacetime emerging from a dual quantum field theory in 2+1D displays quantum fluctuations from classical Euclidean geometry on macroscopic scales. A covariant holographic mapping is assumed, where plane wave states with wavevector k on a 2D surface map onto classical null trajectories in the emergent third dimension at an angle θ=l_P k relative to the surface element normal, where l_P denotes the Planck length. Null trajectories in the 3+1D world then display quantum uncertainty of angular orientation, with standard deviation Δθ=\sqrt{l_P/z} for longitudinal propagation distance z in a given frame. The quantum complementarity of transverse position at macroscopically separated events along null trajectories corresponds to a geometry that is not completely classical, but displays observable holographic quantum noise. A statistical estimator of the fluctuations from Euclidean behavior is given for a simple thought experiment based on measured sides of triangles. The effect can be viewed as sampling noise due to the limited degrees of freedom of such a theory, consistent with covariant bounds on entropy.

研究の動機と目的

• 古典的3+1次元時空が低次元の量子理論からどのように生成されるかを調査すること。
• そのような生成された時空が、古典的ユークリッド幾何学とは異なる観測可能な量子揺らぎを示すことを示すこと。
• 光線軌道の三角形を用いた統計的推定器を導出することにより、古典的幾何からのずれを推定すること。
• 量子的不確定性をホログラフィック理論における共変的エントロピー限界および情報限界と結びつけること。

提案手法

• 2次元平面波状態（波数ベクトル $\vec{k}$）が、3+1次元で角度 $\vec{\theta} = l_P \vec{k}$ の古典的光線軌道にホログラフィックに写像されると仮定する。
• プランク長さ $l_P$ を基本スケールとし、すべての物理的量がプランク単位で次元なしになるようにする。
• 光線伝播距離 $z$ に対して、角度不確定性 $\Delta\theta = \sqrt{l_P / z}$ を導出し、軌道の向きにおける量子的不確定性を示す。
• 光線が形成する三角形の辺の長さの測定値を用いて、ユークリッド幾何からのずれの統計的推定器を構築する。
• 有限な自由度に起因するサンプリングノイズとしての揺らぎをモデル化し、ホログラフィックエントロピー限界と整合させる。
• ホログラフィックノイズのパワー スペクトル密度 $h_H \simeq \sqrt{l_P / c} \approx 2.3 \times 10^{-22} \, \text{Hz}^{-1/2}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2+1次元の量子場理論から生成される3+1次元時空が、マクロスケールで量子揺らぎを示すことができるか？
• RQ2 生成された時空における光線軌道の角度的向きの量子不確定性の起源は何か？
• RQ3 2+1次元理論における自由度の数が、生成された3+1次元幾何の古典的性質をどのように制限するか？
• RQ4 トランスバース位置の差のインタフェロメトリック測定によって、生じる量子的不確定性を検出できるか？
• RQ5 観測された量子ノイズは、共変的エントロピー限界およびホログラフィック情報限界と整合的か？

主な発見

• 生成された3+1次元時空における光線軌道は、伝播距離 $z$ に対して標準偏差 $\Delta\theta = \sqrt{l_P / z}$ の角度的不確定性を示す。
• マクロ的に分離された事象における横方向位置の量子的補完性が、計量における観測可能なホログラフィック量子ノイズを生じる。
• 光線が形成する三角形の辺の長さの測定値から導出した統計的推定器は、線形に蓄積されるデコherenceを示す。
• ホログラフィックノイズのパワー スペクトル密度は $h_H \simeq \sqrt{l_P / c} \approx 2.3 \times 10^{-22} \, \text{Hz}^{-1/2}$ であり、あらゆるスケールで一貫している。
• 識別可能な波数ベクトル方向の数は $\pi (L / l_P)^2$ に制限され、数値係数を除いて共変的エントロピー限界と一致する。
• 理論は統計的ローレンツ不変性を保ち、非可換な遠く離れた横方向位置を有するマクロな量子奇妙さを示し、古典的と見なせる計量の中でも成立する。