[論文レビュー] Quantum-inspired low-rank stochastic regression with logarithmic dependence on the dimension

András Gilyén, Seth Lloyd+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 60

ひとこと要約

著者らは古典的で量子に触発されたアルゴリズムを開発し、長さ平方サンプリングを用いて低ランク線形系 Ax=b の疑似逆解の近似を行い、適切なデータアクセス仮定の下で次元に対して多項対数的依存を実現する。

ABSTRACT

We construct an efficient classical analogue of the quantum matrix inversion algorithm (HHL) for low-rank matrices. Inspired by recent work of Tang, assuming length-square sampling access to input data, we implement the pseudoinverse of a low-rank matrix and sample from the solution to the problem $Ax=b$ using fast sampling techniques. We implement the pseudo-inverse by finding an approximate singular value decomposition of $A$ via subsampling, then inverting the singular values. In principle, the approach can also be used to apply any desired "smooth" function to the singular values. Since many quantum algorithms can be expressed as a singular value transformation problem, our result suggests that more low-rank quantum algorithms can be effectively "dequantised" into classical length-square sampling algorithms.

研究の動機と目的

• 低ランク量子アルゴリズムのデクオマイズを動機づけるため、rank k<<m,n の A に対する量子行列逆算の古典的アナログを提供する。
• subsampling によって A の SVD を近似し、特異値を逆数にして A^+ とサンプル可能な解 x を得る方法を示す。
• 多くの特異値変換を長さ平方サンプリングフレームワークで実装できることを実証する。
• 複雑さ境界を提供し、以前のアプローチを改善し、類似のデータアクセスモデルの下で量子対応物と比較する。

提案手法

• 行と列に対する長さ平方サンプリングを用いて低ランク行列 A の近似特異値分解を記述する。
• <ũ^{(ℓ)}|b> / σ̃_{ℓ} の値を推定して、明示的でない解ベクトル ~x ≈ A^+ b を得る。
• 拒絶サンプリングアプローチを用いて |x_j|^2 / ||x||^2 の分布からサンプリングする。
• クエリおよびサンプルアクセスに適した ~x の明示的説明を出力するアルゴリズム1を提供する。
• 近似的な特異ベクトル/値と A の行空間への射影との関係を示して正当性を分析する。
• A への長さ平方アクセスと b へのクエリアクセスに基づく複雑さ境界を導出し、従来の研究と比較して指数を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な長さ平方サンプリングフレームワークは低ランク行列に対する量子特異値変換の効果を再現できるか。
• RQ2 Ax = b に対する x = A^+ b の多項対数時間アルゴリズムが、どの条件下で実現可能か。
• RQ3 近似的な特異ベクトル/値の精度は、回収解の品質とサンプリング分布にどのように影響するか。
• RQ4 サンプリングパラメータ（行/列のサンプリング回数）は誤差境界と成功確率にどのように影響するか。
• RQ5 提案する古典アルゴリズムの境界は、同様のデータアクセスモデルの下での量子 HHL ベースの期待値とどのように比較されるか。

主な発見

• 低ランク A に対する量子行列逆算の効率的な古典的類似物が長さ平方サンプリングを用いて構築される。
• アルゴリズムは、述べられた条件下で乗法的精度 ε を用いて A^+ b に近い暗黙的 ~x を生む。
• 近似的な特異値と右/左特異ベクトルは、A とその SVD を密接に近接させる二段階のサンプリング（行→列）によって得られる。
• この手法は、解の分布からのサンプリングを全変動距離 2ε の誤差で実現する。
• 得られた複雑さ境界は、従来の関連研究よりも指数が小さく、データアクセスモデルの仮定の下で問題次元に対して多項対数的依存を持つ。