[論文レビュー] Quantum Integrable Systems and Elliptic Solutions of Classical Discrete Nonlinear Equations

I. M. Krichever, Ovidiu Lipan+2 more|Apr 15, 1996

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 110

ひとこと要約

本稿は、量子可積分系と古典的離散非線形方程式との間の深い対応関係を確立する。具体的には、ベーテアンツツトの中心的役割を果たす量子転送行列の固有値が、2次元Toda格子の離散化版であるヒロタの双線形差分方程式（HBDE）の楕円的解として現れることを示している。主な結果は、$A_{k-1}$型モデルのネストド・ベーテアンツツト方程式が、古典的$ au$関数およびバーグァ＝アキエツェル関数の零点の離散時間的運動方程式として現れることであり、量子スペクトルデータの古典的起源を明らかにしている。

ABSTRACT

Functional relation for commuting quantum transfer matrices of quantum integrable models is identified with classical Hirota's bilinear difference equation. This equation is equivalent to the completely discretized classical 2D Toda lattice with open boundaries. The standard objects of quantum integrable models are identified with elements of classical nonlinear integrable difference equation. In particular, elliptic solutions of Hirota's equation give complete set of eigenvalues of the quantum transfer matrices. Eigenvalues of Baxter's $Q$-operator are solutions to the auxiliary linear problems for classical Hirota's equation. The elliptic solutions relevant to Bethe ansatz are studied. The nested Bethe ansatz equations for $A_{k-1}$-type models appear as discrete time equations of motions for zeros of classical $τ$-functions and Baker-Akhiezer functions. Determinant representations of the general solution to bilinear discrete Hirota's equation and a new determinant formula for eigenvalues of the quantum transfer matrices are obtained.

研究の動機と目的

• 量子可積分モデルと古典的離散非線形可積分系との間の対応関係を確立すること。
• 量子転送行列の固有値がヒロタの双線形差分方程式（HBDE）の楕円的解に対応することを示すこと。
• ネストド・ベーテアンツツト方程式を、古典的$ au$関数およびバーグァ＝アキエツェル関数の零点の離散時間的ダイナミクスとして導出すること。
• 境界条件を満たすHBDEの一般解を構成し、量子転送行列固有値の新しい行列式表現を導出すること。
• ベーテアンツツトが、従来は量子的道具であったが、古典的離散ソリトン方程式から自然に導かれることが示されること。

提案手法

• 可換な量子転送行列の関数的関係を、境界が開放された2次元Toda格子の離散化版であるヒロタの双線形差分方程式（HBDE）と特定すること。
• 融合手続きを用いて、高ランク表現の量子転送行列を基本的ものとの積に関連づけ、HBDE形式の関数的関係を生成すること。
• $ au$関数およびバーグァ＝アキエツェル関数の理論を適用し、HBDEの解を古典的非線形力学に解釈すること。
• 楕円的$R$行列を有するモデルに対して、HBDEの楕円的解を、量子転送行列固有値と関連付けるクラスとして特定すること。
• 特定の境界条件下でHBDEの解の一般表現を導出し、量子転送行列固有値の新しい行列式表現に至ること。
• ネストド・ベーテアンツツト方程式を、古典的$ au$関数の零点の離散時間的運動方程式として取り扱い、ルイゼナールス＝シュナイダー系に類似した性質を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分モデルにおける量子転送行列の固有値は、古典的離散非線形方程式から導出可能か？
• RQ2 $A_{k-1}$型モデルのネストド・ベーテアンツツト方程式は、古典的$ au$関数零点の離散時間的ダイナミクスとして生じるか？
• RQ3 楕円関数は、古典的ソリトン方程式と量子スペクトルデータを結ぶ役割を果たすか？
• RQ4 HBDE解の行列式表現は、量子可積分系のスペクトルとどのように関係するか？
• RQ5 量子可積分モデルの関数的関係を統一する古典的離散ソリトン方程式は存在するか？

主な発見

• 可換な量子転送行列の関数的関係が、境界が開放された2次元Toda格子の離散化版であるヒロタの双線形差分方程式（HBDE）と一致することが特定された。
• HBDEの楕円的解が、楕円的$R$行列を有するモデルにおける量子転送行列の固有値の完全な集合を提供する。
• バクスターの$Q$演算子の固有値は、古典的HBDEの補助線形問題の解に対応する。
• $A_{k-1}$型モデルのネストド・ベーテアンツツト方程式が、古典的$ au$関数およびバーグァ＝アキエツェル関数の零点の離散時間的運動方程式として示された。
• 特定の境界条件下でHBDEの一般解が構成され、量子転送行列固有値の新しい行列式表現が得られた。
• ベーテ根の離散時間的ダイナミクスが、Ruijsenaars-Schneider多体系の古典的離散アナローグとして特定され、連続極限では連続時間版に回復することが示された。