[論文レビュー] Quantum Isometry Groups: Examples and Computations

Debashish Goswami, Jyotishman Bhowmick|ArXiv.org|Jul 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的および非可換な球面とトーラスの量子等長群を明示的に計算し、多様体の等スペクトル変形における量子等長群が、元の多様体の量子等長群の変形であることを確立している。$ QISO(S^n_\theta) \cong O_\theta(n) $ を証明し、量子等長群を $ \theta $-変形された直交群と関連づけている。

ABSTRACT

In this follow-up of the article: Quantum Group of Isometries in Classical and Noncommutative Geometry(arXiv:0704.0041) by Goswami, where quantum isometry group of a noncommutative manifold has been defined, we explicitly compute such quantum groups for a number of classical as well as noncommutative manifolds including the spheres and the tori. It is also proved that the quantum isometry group of an isospectral deformation of a (classical or noncommutative) manifold is a suitable deformation of the quantum isometry group of the original (undeformed) manifold.

研究の動機と目的

• 古典的および非可換多様体、特に球面とトーラスの量子等長群を明示的に計算すること。
• 等スペクトル変形における量子等長群の間の一般的関係を確立すること。
• 変形された多様体の量子等長群が、元の量子等長群の変形であることを示すこと。
• 非可換幾何学における量子等長群の構造と、スペクトル三重項理論におけるその役割を調査すること。

提案手法

• コンパクト型、$ QC^\infty $、およびディラック作用素 $ D $ から導かれるラプラシアン $ \mathcal{L} $ を用いたスペクトル三重項フレームワークを利用する。
• $ \mathcal{L} $ に対する不変性と $ \mathcal{A}^\infty_0 $ の保存に基づき、コンパクトな量子群による非可換多様体上の滑らかで等長な作用を定義する。
• 滑らかで等長に作用するコンパクトな量子群のカテゴリにおける普遍的対象としての量子等長群の普遍性を応用する。
• $ C(O(n)) $ の $ \theta $-変形である $ O_\theta(n) $ を、変形された球面 $ S^n_\theta $ の量子等長群として構成する。
• [4] の普遍的対象構成を用い、忠実なハール測度のもとで $ (QISO({\cal A}))_{\widetilde{J}} \cong QISO({\cal A}_J) $ を証明する。
• Rieffel型変形の $ C(\mathbb{T}^2) $ および $ S^n $ にこの結果を適用し、一般定理の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換トーラス $ \mathbb{T}^2_\theta $ の量子等長群は何か？
• RQ2 多様体の等スペクトル変形において、量子等長群はどのように変化するか？
• RQ3 変形された球面 $ S^n_\theta $ の量子等長群は、$ O(n) $ の $ \theta $-変形と同型か？
• RQ4 古典的多様体の量子等長群を変形することで、その非可換対応物の量子等長群が得られるか？
• RQ5 連結でコンパクトな多様体で、非可換 $ C^* $-代数的量子等長群を持つものは存在するか？

主な発見

• 非可換トーラス $ \mathbb{T}^2_\theta $ の量子等長群は、$ C(\mathbb{T}^2) $ の $ \theta $-変形と同型であり、一般の変形原理と整合的である。
• $ n $-次元球面 $ S^n $ に対しては、$ QISO(S^n) \cong C(O(n)) $ であり、直交群上の連続関数の代数である。
• 変形された $ n $-次元球面 $ S^n_\theta $ に対しては、$ QISO(S^n_\theta) \cong O_\theta(n) $ であり、$ C(O(n)) $ の $ \theta $-変形である。
• スペクトル三重項の等スペクトル変形 $ \mathcal{A}_J $ の量子等長群は、元の量子等長群の $ \theta $-変形と同型である：$ (QISO(\mathcal{A}))_{\widetilde{J}} \cong QISO(\mathcal{A}_J) $。
• ハール測度が $ QISO(\mathcal{A}) $ で忠実であるという仮定のもとでこの結果が成り立つ。これは $ S^n $ や $ \mathbb{T}^2 $ のような古典的多様体で確認されている。
• 本稿では、連結でコンパクトな多様体が非可換 $ C^* $-代数的量子等長群を持つかどうかは未解決のまま残されている。