[論文レビュー] Quantum Kac-Moody Algebras and Vertex Representations

Naihuan Jing|ArXiv.org|Feb 6, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、対称一般化 Cartan 行列に付随する量子 Kac-Moody代数の量子アフィン化のレベル1頂点表現を、ボソン場から構成された頂点演算子を用いて構成する。この構成により、Hall-Littlewood多項式を含む新しい組合せ的恒等式を介して、量子 Serre 関係式が確立される。この恒等式は、量子設定では非自明であるが、古典的状況では自明である。

ABSTRACT

We introduce an affinization of the quantum Kac-Moody algebra associated to a symmetric generalized Cartan matrix. Based on the affinization, we construct a representation of the quantum Kac-Moody algebra by vertex operators from bosonic fields. We also obtain a combinatorial indentity about Hall-Littlewood polynomials.

研究の動機と目的

• Kac-Moody代数の I. Frenkel の古典的頂点表現を、量子設定に一般化すること。
• ボソン場を用いて、量子 Kac-Moody代数の量子アフィン化のレベル1頂点表現を構成すること。
• 表現から導かれる新しい組合せ的恒等式を用いて、量子 Serre 関係式を証明すること。
• 量子頂点演算子代数と Hall-Littlewood対称関数の間の非自明な関係を確立すること。
• 任意の対称一般化 Cartan 行列にまで拡張可能な、古典的頂点表現枠組みの量子変形を提供すること。

提案手法

• 量子 Kac-Moody代数のアフィニゼーションを、Drinfeld のループ代数構成の変形として導入する。
• 根格子上に量子ヘイゼンベルク代数を定義し、頂点表現のフォック空間を構成する。
• ボソン場と量子交換関係を用いて、頂点演算子 $X_i^{ u}(z)$ を構成する。
• 量子 Serre 関係式は、対称関数の恒等式に帰着されるより強い演算子的恒等式を示すことにより証明する。
• 量子頂点演算子の計算とウィックの定理を用いて、Serre 関係式を対称関数における組合せ的恒等式に還元する。
• キーポイントとなる恒等式 (5.4) は、$q$-二項定理とルート系の条件における対称性の還元を用いて示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソン場を用いた頂点表現は、Frenkel の古典的構成に類似して、量子 Kac-Moody代数に対して構成可能であろうか？
• RQ2 量子 Serre 関係式を実現する、古典的頂点演算子計算の量子アナログは何か？
• RQ3 組合せ的恒等式 (5.4) は、量子アフィン化 Kac-Moody代数の表現論からどのように導かれるか？
• RQ4 導出された恒等式と Hall-Littlewood 対称多項式の間の関係は何か？
• RQ5 恒等式 (5.4) は量子設定では非自明であり、量子群の実現とは独立に証明可能であろうか？

主な発見

• 本稿では、ボソン場から構成されたフォック空間上に、量子 Kac-Moody代数の量子アフィン化のレベル1頂点表現を頂点演算子を用いて構成する。
• 量子 Serre 関係式は、より強い演算子的恒等式が成り立つことにより証明され、これは対称関数の恒等式に還元される。
• 量子状況では非自明だが、古典的状況では自明な新しい組合せ的恒等式 (5.4) が導出される。
• 恒等式 (5.4) は Hall-Littlewood 多項式の間の関係に等価であり、これらの対称関数に新たな代数的構造を与える。
• 恒等式の定数項は $q$-二項定理により消えるため、特別なルート系の条件下で恒等式が確認される。
• Cartan 行列の成分 $(\alpha_i|\alpha_j)$ に関する不変性を用いることで、一般の場合にも恒等式が成立することが証明される。