[論文レビュー] Quantum Langlands Correspondence

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、量子幾何的ラングランズ対応における推測的同値性を定式化し、アフィングラスマンイアン上のDモジュールの圏と局所系上のコherent層の圏の間の2-ファンクター的双対性を提案する。主な結果は臨界レベル（c=0）および無限大（c=∞）において得られ、レベル0におけるWhittaker圏がラングランズ双対群の表現に対応することを示し、operaおよび分岐局所系を用いてグローバルHecke固有層へと拡張する。

ABSTRACT

These are informal notes written in 2007 that outline the local and global quantum Langlands program. (I decided to make them public in view of the revived interest in the subject.)

研究の動機と目的

• 再帰的群Gおよびそのラングランズ双対群Ǧのための量子幾何的ラングランズ対応を定式化すること。
• レベルcにおけるループ群G((t))の作用を受ける圏と、G-局所系のモジュライスタック上の圏の間の2-ファンクター的双対性を確立すること。
• 捩れたDモジュールおよびWhittaker構造を組み込んだ、量子設定における幾何的ラングランズ対応への一般化を達成すること。
• 臨界レベル（c=0）および無限大（c=∞）における特殊な場合を検証し、Whittaker圏と表現圏またはコherent層の圏の間の同値性を示すこと。

提案手法

• レベル0におけるG((t))の作用を受ける圏から、スタックLocSysG(D×)上の圏への2-ファンクターΦG→Ǧを導入し、コア構成としてWhittaker関手を用いる。
• Whittaker圏の構成を用いて、アフィングラスマンイアン上のDモジュールとラングランズ双対群Ĝのレベル0における表現の間の関係を確立する。
• chiral圏およびループ群G((t))上のDモジュールの因数分解構造を用い、G((t))上のテンソル積およびG((t))-不変構造を定義する。
• Beilinson-Drinfeldによるoperaを用いたHecke固有層の構成を適用し、c=0における対応の検証を行う。
• operaおよび局所系上のコherent層の間の同値性を、穿孔付き曲線を用いた分岐ケースを含めて確立する。
• レベルcと1/cの間の双対性を用い、Ĝの双対レベルにおける圏とcレベルにおける圏を関連づけ、以前の結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子幾何的ラングランズ対応を、Dモジュールの圏と局所系のモジュライスタック上のコherent層の圏の間の2-ファンクター的双対性としてどのように定式化できるか？
• RQ2 臨界レベルc=0における量子ラングランズ対応を実現するにあたり、Whittaker関手が果たす正確な役割は何か？
• RQ3 BunG,x上のDモジュールの圏およびそのWhittaker構造は、穿孔付き曲線および分岐局所系上のコherent層の圏とどのように関係するか？
• RQ4 レベルcにおけるW代数とKac-MoodyモジュールのWhittaker圏の間の関係は何か？
• RQ5 グローバル量子ラングランズ対応は、c=0においてどのように古典的幾何的ラングランズ対応に特殊化されるか？

主な発見

• レベルc=0において、アフィングラスマンイアン上のWhittaker圏Whitt^0(GrG)は、ラングランズ双対群Ĝの表現の圏に同値である。
• レベルc=∞において、臨界レベルにおけるĝ^0-mod^IのKac-Moodyモジュールの圏は、Ĝの非正則に分岐したoperaのスタック上のコherent層の圏に同値である。
• c=0におけるグローバル対応は、D^0(BunG)-mod ≃ QCoh(LocSysǦ(X))の同値性として実現され、operaを用いたHecke固有層の構成によって達成される。
• 穿孔付きフラッグ多様体上のレベル0におけるDモジュールのWhittaker圏は、Ĝのフラッグ多様体上のコherent層の圏に同値であり、AB定理の結果として得られる。
• G((t))上の2つのĝ^0-mod圏のテンソル積は、isomonodromy群ガロア群IsomG(D×)上のコherent層の圏に同値であり、グローバルな双対性を示す。
• 分岐グローバル対応は、Whitt^0(D^0(BunG,x)) ≃ QCoh(LocSysǦ(X))として、LocSysG(D×)上の圏として実現され、分岐ケースにおける双対性が確認される。