[論文レビュー] Quantum Langlands duality and conformal field theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、$G$-バンドルのモジュライスタック上のねじれ$\mathcal{D}$-加群と$G^\vee$-バンドルのねじれ余接バンドル上の$\mathcal{O}$-加群の導来圏同型を、複素数パラメータ$\kappa$でパrameter化する方法により、幾何的ラングランズ対応の量子変形を提案する。主な結果は、$\kappa=0$で古典的幾何的ラングランズ対応、$\kappa=\infty$でラングランズ双対に対応する、$\mathcal{L}_\kappa$と呼ばれる推測されるカーネル対象であり、これはヒチン可積分系に関連する特異的台条件を持つ。

ABSTRACT

V. Drinfeld proposed conjectures on geometric Langlands correspondence and its quantum deformation. We refine these conjectures and propose their relationship with algebraic conformal field theory.

研究の動機と目的

• V. ドリンフェルトの幾何的ラングランズ双対性に関する予想を、$\mathbb{C}^\times$に値をとる量子変形パラメータ$\kappa$を導入することによって精緻化・拡張すること。
• $\mathcal{B}un_G$上のねじれ$\mathcal{D}$-加群と$\widetilde{T}^*\mathcal{B}un_{G^\vee}$上の$\mathcal{O}$-加群の導来圏同型を確立し、古典的対応を一般化すること。
• この量子ラングランズ対応を代数的共形場理論と関連づけ、幾何的ラングランズと表現論的構造を統合すること。
• 古典的幾何的ラングランズカーネル（$\kappa=0$）とそのラングランズ双対（$\kappa=\infty$）の間を滑らかに接続するカーネル対象$\mathcal{L}_\kappa$を定義し、平坦性および特異的台条件を課すこと。

提案手法

• ねじれ$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}(\xi^{\otimes\kappa})$-加群とねじれ$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_{G^\vee}}(\xi^{\vee\otimes\kappa^\vee})$-加群の導来圏同型を提唱し、$\kappa^\vee = 1/(r\kappa)$で、$r$はディンキン図の最大辺重みとする。
• カーネル$\mathcal{L}_\kappa$を、$\mathbb{P}^1 \times \mathcal{B}un_G \times \mathcal{B}un_{G^\vee}$上の$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}(\xi^{\otimes\kappa}) \boxtimes \mathcal{D}_{\mathcal{B}un_{G^\vee}}(\xi^{\vee\otimes\kappa^\vee})$-加群として定義し、$\mathbb{P}^1$上に平坦であるようにする。
• パラメータ$t=\kappa$でのファイバーが$\mathcal{L}_\kappa$、$t=0$で古典的カーネル$\mathcal{L}_0$、$t=\infty$でラングランズ双対カーネル$\mathcal{L}_\infty$となるようにし、双対理論の間を滑らかに接続する。
• 特異的台条件を課す：$\mathcal{L}_\kappa$の特異的台は、ヒチン写像の積$\chi_G \times \chi_{G^\vee}$の下での対角$\Delta_\kappa = \{v_i^\vee = \kappa^{d_i} v_i\}$の逆像と一致する必要がある。
• ヒチン可積分系を用いて$\mathcal{L}_\kappa$の特異的台を制約し、古典的極限$\kappa \to 0$では、グローバル・ノンポテンシャル・コーンへの包含が得られる。
• 共形場理論と関連づけるために、空間$\mathcal{C}onf_{G^\vee}$を色付き除法の空間と同一視し、$\mathcal{B}un_{B/[N,N]}^{>0}$図式を用いて関連する幾何的構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的ラングランズ対応を、複素結合定数$\kappa$でパラメータ化された量子版にどのように変形できるか？
• RQ2 $\mathcal{B}un_G$上のねじれ$\mathcal{D}$-加群と$\widetilde{T}^*\mathcal{B}un_{G^\vee}$上の$\mathcal{O}$-加群の導来同型を実現するカーネル$\mathcal{L}_\kappa$の明確な形態は何か？
• RQ3 $\mathcal{L}_\kappa$の特異的台は、ヒチン可積分系および対角条件$v_i^\vee = \kappa^{d_i} v_i$とどのように関係するか？
• RQ4 共形場理論は、この量子ラングランズ双対性を実現・正当化するために果たす役割は何か？
• RQ5 古典的極限$\kappa \to 0$は、元の幾何的ラングランズ対応をどのように回復するのか？ その対応する$\mathcal{D}$-加群の特異的台は何か？

主な発見

• 任意の$\kappa \in \mathbb{C}^\times$に対して、ねじれ$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}(\xi^{\otimes\kappa})$-加群の導来圏は、$\kappa^\vee = 1/(r\kappa)$を満たす$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_{G^\vee}}(\xi^{\vee\otimes\kappa^\vee})$-加群の導来圏と同型であると予想される。
• $\mathcal{L}_\kappa$は、$\mathbb{P}^1 \times \mathcal{B}un_G \times \mathcal{B}un_{G^\vee}$上の$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$-加群として平坦であり、$t=\kappa$、$t=0$、$t=\infty$でのファイバーはそれぞれ量子的、古典的、双対古典的ラングランズカーネルに対応する。
• $\mathcal{L}_\kappa$の特異的台は、ヒチン写像の積$\chi_G \times \chi_{G^\vee}$の下での対角$\Delta_\kappa = \{v_i^\vee = \kappa^{d_i} v_i\}$の逆像と一致することが要求される。これにより、可積分系と関連づけられる。
• 古典的極限$\kappa \to 0$では、$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}$-加群$\mathcal{F}_{\mathcal{P}^\vee}$の特異的台が、グローバル・ノンポテンシャル・コーン（$\chi_G$の零点の逆像）に含まれることが示唆される。
• $\mathcal{C}onf_{G^\vee}$は、$\{D_i : \deg D_i \geq 2g-2\}$という条件を満たす色付き除法の空間と同一視され、曲線$C$の対称積の直和に同型であり、共形ブロックの幾何的実現を提供する。
• この構成は共形場理論と整合性がある：$\mathbb{P}^1$上に平坦なファミリーとして得られるカーネル$\mathcal{L}_\kappa$は、古典的および双対古典的ラングランズ理論の間を滑らかに接続し、共形場理論の構造は$\mathcal{B}un_{B/[N,N]}^{>0}$図式およびベクトル束$\mathcal{B}un_{\omega,H}$に符号化されている。