[論文レビュー] Quantum lattice gas model of Dirac particles in 1+1 dimensions

Jeffrey Yepez|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限小のグリッド間隔を必要とせず、解析的閉形式の作用素分割法を用いて1+1次元時空におけるディラック粒子のダイナミクスをシミュレートするユニタリ量子格子ガスモデルを提示する。モデルは、Trotter分解を用いない非Trotter的分解により、ユニタリな進化作用素を運動的および相互作用的部品に分解し、正確で効率的な相対論的および非相対論的粒子行動の量子シミュレーションを可能にし、ユニタリティを正確に保ち、空間的誤差項を一切持たない。

ABSTRACT

Presented is a quantum computing representation of Dirac particle dynamics. The approach employs an operator splitting method that is an analytically closed-form product decomposition of the unitary evolution operator. This allows the Dirac equation to be cast as a unitary finite-difference equation in a high-energy limit. The split evolution operator (with separate kinetic and interaction terms) is useful for efficient quantum simulation. For pedagogical purposes, here we restrict the treatment to Dirac particle dynamics in 1+1 spacetime dimensions. Independent derivations of the quantum algorithm are presented and the model's validity is tested in several quantum simulations by comparing the numerical results against analytical predictions. Using the relativistic quantum algorithm in the case when mc^2 >> pc, quantum simulations of a nonrelativistic particle in an external scalar square well and parabolic potential is presented.

研究の動機と目的

• 空間離散化誤差が生じない1+1次元時空におけるディラック粒子ダイナミクスを忠実に再現するユニタリ量子格子ガスモデルの開発。
• 通常は精度を確保するために無限小の時間・空間ステップを必要とするTrotter分解を避けるために、進化作用素の解析的閉形式積分解析を用いる。
• 進化作用素における運動的および相互作用的項を分離することで、相対論的および非相対論的領域の両方を効率的に量子シミュレート可能にする。
• 非相対論的粒子のスカラー場における数値シミュレーションを通じて、解析的予測との比較によりモデルの妥当性を検証する。
• 多数体応用のため、キュービット生成・消滅演算子と三重イデムポテンス生成子を用いてエンタングルメント衝突作用素の解析的形を導出する。

提案手法

• Trotter近似を避けるために、ユニタリ進化作用素を運動的および相互作用的部品に分解する作用素分割法を用いる。
• 進化作用素のディラックハミルトニアンに対する非Trotter的、解析的閉形式分解を採用し、正確なユニタリティと空間的誤差項の不在を保証する。
• 各サイトにおける粒子占有状態をキュービットで符号化することで、離散格子上での粒子運動を表現し、±45°方向（光円錐運動）に伝搬させる。
• 各格子点における粒子-粒子相互作用を、パウリ行列と双曲線関数から導出された生成子を用いて実装されたユニタリゲートとしてのエンタングルメント衝突作用素でモデル化する。
• エンタングルメント作用素を三重イデムポテンス生成子の指数関数として導出し、多数体計算に適したキュービット生成・消滅演算子の言語で表現する。
• $ \cosh z = \sqrt{1 - \left(\frac{mc^2\tau}{\hbar}\right)^2} $ および $ \sinh z = -i\frac{mc^2\tau}{\hbar} $ を用い、$ z $ を逆双曲線関数で定義することで、質量および格子パラメータに依存する進化の表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Trotter分解に依存せず、無限小のグリッド間隔を必要としないユニタリ量子格子ガスモデルは、1+1次元におけるディラック粒子ダイナミクスをシミュレート可能か？
• RQ2 解析的閉形式積分解析を用いて、ディラック方程式のユニタリ進化作用素を運動的および相互作用的部品にどのように分解できるか？
• RQ3 ユニタリティを保ちつつ質量および運動量項を正しく格子モデルに符号化するエンタングルメント衝突作用素の解析的形は何か？
• RQ4 本モデルは、正方形井戸や放物型ポテンシャルなどのスカラー場における非相対論的粒子の既知の解析的結果をどの程度正確に再現するか？
• RQ5 エンタングルメントゲートの生成子の構造はキュービット演算子の言語でどのように表現され、三重イデムポテンス行列と関係するか？

主な発見

• 質量が運動量に比べて非常に大きい状況（$ mc^2 \gg pc $）において、スカラー正方形井戸および放物型ポテンシャル内での非相対論的粒子ダイナミクスが、数値的・解析的に一致するシミュレーションにより成功裏に再現された。
• Trotter近似を一切用いず、運動的および相互作用的部品にユニタリ進化作用素を分解したため、空間的誤差項が排除され、有限のグリッド間隔が許容された。
• 衝突作用素は $ \Upsilon = \exp\left[z \begin{pmatrix} 0 & \mathcal{B} \\ \mathcal{B}^* & 0 \end{pmatrix}\right] $ として導出され、$ z $ は $ \sinh z = -i\frac{mc^2\tau}{\hbar} $ で定義され、正確なユニタリティが保証された。
• エンタングルメントゲートの生成子は三重イデムポテンス的（$ N^3 = N $、$ N^2 \neq \mathbf{1} $、$ N^2 \neq N $）であり、$ N_{\alpha\beta} = \mathcal{B} a^\dagger_\beta a_\alpha + \mathcal{B}^* a^\dagger_\alpha a_\beta + n_\alpha n_\beta $ として表現された。
• $(\uparrow,\downarrow)$部分空間における衝突作用素の行列表現は $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{1 - (mc^2\tau/\hbar)^2} & -i(mc^2\tau/\hbar)e^{-i\cdot} & 0 \\ 0 & -i(mc^2\tau/\hbar)e^{i\cdot} & \sqrt{1 - (mc^2\tau/\hbar)^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^z \end{pmatrix} $ であり、質量および格子間隔に依存する位相因子を含む。
• モデルは、波束の分散がハイゼンベルクの不確定性原理に従う相対論的極限に達し、1次元では質量を持つ粒子に限り自発的非局在化が発生するが、これは量子力学と整合的である。