[論文レビュー] Quantum law for equipartition of energy

P. Białas, Jakub Spiechowicz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Quantum Mechanics and Applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、調和振動子からなる thermostat における各自由度あたりの熱的運動エネルギー $τ_k$ を $τ_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ として定式化することにより、古典的等分配定理の量子版を提示する。ここで $τ_k$ は各自由度あたりの運動エネルギーを表し、$τ_k$ は $τ_k$ の周波数平均（$τ_k$ に従う重み付け）を表す。この関係は、正確に解ける量子開放系（自由ブラウン運動および調和振動子）に対して導出され、エネルギー等分配の量子則が確立される。

ABSTRACT

One of the fundamental laws of classical statistical physics is the energy equipartition theorem which states that for each degree of freedom the average kinetic energy equals $E_k=k_B T/2$, where $k_B$ is the Boltzmann constant and $T$ is temperature of the system. Despite the fact that quantum mechanics has already been developed for more than 100 years still there is no quantum counterpart of this theorem. We attempt to fill this far-reaching gap and formulate the quantum law for equipartition of energy in the appealing form $E_k = \langle \mathcal E_k angle$, where $\mathcal E_k$ is thermal kinetic energy per one degree of freedom of the thermostat consisting of harmonic oscillators and $\langle ... angle$ denotes averaging over frequencies $\omega$ of those thermostat oscillators which contribute to $E_k$ according to the probability distribution $\mathbb P(\omega)$. We derive it for two paradigmatic and exactly solvable models of quantum open systems: a free Brownian particle and a harmonic oscillator. We formulate conditions for validity of the relation $E_k = \langle \mathcal E_k angle$ for other quantum systems.

研究の動機と目的

• 量子統計力学における長年の空白を埋めるために、古典的エネルギー等分配定理の量子版を定式化すること。
• 熱的バスターミナル内の振動数の平均を用いて、運動エネルギーの等分配に関する量子則を定義すること。
• 自由ブラウン粒子や調和振動子といった代表的な量子開放系において、$E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ の有効性を確立すること。
• 他の量子系において、この量子等分配関係が成り立つための一般的な条件を導出すること。

提案手法

• 調和振動子の集まりからなる thermostat から、各自由度あたりの量子運動エネルギー $τ_k$ を導出する。
• 各振動数の寄与を定める確率分布 $τ_k(\omega)$ を用いて、周波数加重平均 $\langle \mathcal{E}_k \rangle$ を定義する。
• 正確に解ける2つのモデル（自由ブラウン粒子および調和振動子）にこの形式を適用する。
• 量子開放系理論を用いて平均運動エネルギーを計算し、特定の条件下でそれが $\langle \mathcal{E}_k \rangle$ と一致することを示す。
• バスターミナルのスペクトル特性および系-バスターミナル結合の性質に基づき、$E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ の有効性に関する一般的な基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動エネルギーに関する古典的等分配定理の量子アナログは何か？
• RQ2 量子開放系において、各自由度あたりの平均運動エネルギーを一貫してどのように定義できるか？
• RQ3 系が熱的バスターミナルに結合している場合、$E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ が成り立つ条件は何か？
• RQ4 正確に解けるモデルに対して、量子等分配則を厳密に導出できるか？

主な発見

• 量子等分配則は $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ として定式化され、ここで $τ_k$ は調和振動子の thermostat における各自由度あたりの運動エネルギーを表す。
• 自由ブラウン粒子の場合、$τ_k(\omega)$ で定義される周波数平均の下で、関係 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ が正確に成立する。
• 調和振動子の場合、同様の関係が厳密に導出され、第二の代表的モデルにおいて一貫性が確認される。
• この論文では、$E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ の有効性を保証する、バスターミナルのスペクトル密度および結合の一般的な条件が同定される。