[論文レビュー] Quantum LDPC codes with $Ω(\sqrt{n}\log^kn)$ distance, for any $k$

Tali Kaufman, Ran J. Tessler|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ラマヌジャン複体のテンソル積を活用することで、任意の k に対して距離 Ω(√n log^k n) を持つ量子 LDPC コードを構築する。主な洞察は、コシスティール拡張子と線形コシスティールを持つ複体のテンソル積は、線形コシスティールを保ち、これにより先行研究を上回るコード距離を達成できることにある。

ABSTRACT

In this work we construct quantum LDPC codes of distance $\sqrt{n} \log^k n$ for any $k$, improving a recent result of Evra et. al. \cite{EKZ}. The work of \cite{EKZ} took advantage of the high dimensional expansion notion known as cosystolic expansion, that occurs in Ramanujan complexes. Our improvement is achieved by considering tensor product of Ramanujan complexes. The main conceptual contribution of our work is the following: a tensor product of a cosystolic expander with a complex with a linear cosystole has a linear cosystole.

研究の動機と目的

• 従来の結果よりも漸近的に大きな最小距離を持つ量子 LDPC コードを構築すること。
• ラマヌジャン複体におけるコシスティール拡張に依存する従来の構成法の制限を克服すること。
• 高次元拡張子と線形コシスティールを持つ複体のテンソル積の新しい構造的性質を確立すること。
• 量子 LDPC コードの距離スケーリングを、多項式対数的改善を超えて一般化すること。

提案手法

• 強いコシスティール拡張特性を有するため、ラマヌジャン複体を基本複体として採用する。
• コシスティール拡張子と線形コシスティールを持つ複体との間でテンソル積構成を適用する。
• 得られるテンソル積複体が線形コシスティールを維持することを証明する。これは重要な構造的性質である。
• テンソル積における線形コシスティールを活用して、コード距離の下界を導出する。
• 高次元拡張子のコホモロジー的性質を分析するために、代数的および位相的道具を用いる。
• コシスティール拡張を用いて論理的誤りに対する耐性を確保し、これにより大きなコード距離が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コシスティール拡張子と線形コシスティールを持つ複体のテンソル積は、両方の性質を保ち、結果として線形コシスティールを維持するか？
• RQ2 ラマヌジャン複体から構築された量子 LDPC コードの最大距離は何か？
• RQ3 テンソル積構成は、従来の距離上限をどのように改善するか？
• RQ4 ラマヌジャン複体のコシスティール拡張は、積構成を通じてより良いコードパラメータをもたらすように活用可能か？
• RQ5 どのような複体の構造的性質がテンソル積下でも保たれ、大きなコード距離を保証するか？

主な発見

• コシスティール拡張子と線形コシスティールを持つ複体のテンソル積は、線形コシスティールを持つ複体を生成する。
• この構造的性質の保存により、任意の k に対して距離 Ω(√n log^k n) を持つ量子 LDPC コードの構築が可能になる。
• Evra らの従来の結果を上回り、多項式対数的改善を超える距離の向上を達成した。
• 本手法により、ラマヌジャン複体上の積構成を用いた、大距離を持つ量子コードを構築するための新しいフレームワークが確立された。
• 高次元拡張と線形コシスティールをテンソル積によって効果的に組み合わせることで、より良いコードパラメータが得られることを示した。
• 単一の複体では達成できない距離の拡大を、一般化されたメカニズムとして提供した。