[論文レビュー] Quantum linear system solver based on time-optimal adiabatic quantum computing and quantum approximate optimization algorithm

Dong An, Lin Lin|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 85

ひとこと要約

本稿では、量子線形系問題（QLSP）を近似的に最適な複雑度で解くための時間最適な断熱的量子計算（AQC）フレームワークと、その変種である量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を用いたアプローチを提案する。可変関数を用いた断熱経路の再スケジューリングにより、一般の非エルミート行列に対し、O(𝜅poly(log(𝜅/𝜖)))の実行時間で実現可能であり、複雑な振幅増幅技術の必要性を排除し、数値実験でも通常のAQCやランダム化手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

We demonstrate that with an optimally tuned scheduling function, adiabatic quantum computing (AQC) can readily solve a quantum linear system problem (QLSP) with $\mathcal{O}(\kappa~ ext{poly}(\log(\kappa/\epsilon)))$ runtime, where $\kappa$ is the condition number, and $\epsilon$ is the target accuracy. This is near optimal with respect to both $\kappa$ and $\epsilon$. Our method is applicable to general non-Hermitian matrices, and the cost as well as the number of qubits can be reduced when restricted to Hermitian matrices, and further to Hermitian positive definite matrices. The success of the time-optimal AQC implies that the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) with an optimal control protocol can also achieve the same complexity in terms of the runtime. Numerical results indicate that QAOA can yield the lowest runtime compared to the time-optimal AQC, vanilla AQC, and the recently proposed randomization method.

研究の動機と目的

• 量子線形系問題（QLSP）を解くための時間最適な断熱的量子計算（AQC）手法を開発し、実行時間複雑度を向上させること。
• 実装が困難な複雑な振幅増幅技術（例えば可変時間振幅増幅（VTAA））に依存しないようにすること。
• 最適制御プロトコルを組み合わせたQAOAが、時間最適AQCと同等の近似的に最適な複雑度を達成できることを示すこと。
• 切断されたダイソン級数と標準クエリモデルを用いて、スパース行列と状態準備のためのゲート効率の良い実装を提供すること。
• 数値的検証を通じて、QAOAがAQCの変種および他の手法と比較して最も短い実行時間を達成することを示すこと。

提案手法

• 1 < p < 2 の範囲で、p ∈ (1,2) の AQC(p) および指数関数的スケジューリングの AQC(exp) を提案し、断熱経路を再スケジューリングすることで実行時間を最小化する。
• 断熱経路に沿ったエネルギーギャップの情報を用いて、時間最適な時間発展を設計し、条件数 𝜅 や精度 𝜖 に依存する実行時間の依存性を低減する。
• 切断ダイソン級数を用いて効率的な断熱的ダイナミクスのシミュレーションを実現し、AQC(p) ではクエリ複雑度 O(d𝜅/𝜖 log(d𝜅/𝜖))、AQC(exp) では O(d𝜅 poly log(d𝜅/𝜖)) を達成する。
• AQCとQAOAの密接な関係を活用し、最適制御プロトコルを用いたQAOAが、時間最適AQCと同等の実行時間複雑度を達成できることを示す。
• 標準クエリモデル（dスパース行列アクセスと |b⟩ の状態準備オракル）を用い、ゲート効率の良い実装を実現する。
• ヒルベルト空間の正定値エルミート行列および非エルミート行列の両方に対して、AQC(p)、AQC(exp)、QAOA、RM、および通常のAQCの性能を数値的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な振幅増幅技術に依存せずに、QLSPに対して近似的に最適な実行時間複雑度を達成できるように、断熱的量子計算を最適化できるか？
• RQ2 どのスケジューリング関数がAQCに O(𝜅poly(log(𝜅/𝜖))) の実行時間スケーリングをもたらし、既存の手法と比較してどのように異なるか？
• RQ3 最適制御プロトコルを用いた場合、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）は時間最適AQCと同等の複雑度スケーリングを達成できるか？
• RQ4 実行時間および 𝜅 と 𝜖 に対するスケーリングの観点から、QAOAの性能はAQCの変種およびランダム化手法（RM）と比較してどう異なるか？
• RQ5 AQC(p)、AQC(exp)、およびQAOAの数値的スケーリング挙動は、異なる行列タイプやパrameter領域でどのように変化するか？

主な発見

• AQC(p) は 1 < p < 2 の範囲で O(𝜅/𝜖) の実行時間複雑度を達成し、ランダム化手法（RM）が O(𝜅 log 𝜅 / 𝜖) とスケーリングするのと比較して、𝜅 にかかる対数因子を除去した。
• AQC(exp) は O(𝜅 poly(log(𝜅/𝜖))) の実行時間複雑度を達成し、𝜅 および 𝜖 に関して近似的に最適であり、事前に 𝜅 を知る必要がない。
• 数値的結果から、QAOAはテストされたすべての手法の中で最も短い実行時間を達成しており、精度 𝜖 に対して O(log^1.5(1/𝜖)) のスケーリングを示し、非常に小さい 𝜖 では AQC(exp) をも上回った。
• 条件数 𝜅 に関しては、QAOAは約 O(𝜅^0.89) のスケーリングを示し、AQC(exp) は O(𝜅^0.93)、AQC(p) は O(𝜅^1.05) とそれぞれ示し、ほぼ線形依存性であることが示された。
• 𝜖 が十分に小さい場合、AQC(exp) は AQC(p) よりも優れた性能を示し、1/𝜖 に対する多項式対数的依存性が裏付けられた。
• 最適パラメータが得られた場合、QAOAの実行時間は AQC(exp) よりも短く、QAOAのダイナミクスが厳密に断熱経路に従わない可能性を示唆しており、非断熱的利点があると考えられる。