[論文レビュー] Quantum linear systems algorithms: a primer

Danial Dervovic, Mark Herbster+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用数 61

ひとこと要約

本論文は、線形系を解くための HHL 量子アルゴリズムとそのサブルーチン、データロード、および変数時間振幅増幅法と量子特異値推定に基づくアプローチを含む現代的な改良を詳しく解説する入門書を提供する。

ABSTRACT

The Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) quantum algorithm for sampling from the solution of a linear system provides an exponential speed-up over its classical counterpart. The problem of solving a system of linear equations has a wide scope of applications, and thus HHL constitutes an important algorithmic primitive. In these notes, we present the HHL algorithm and its improved versions in detail, including explanations of the constituent sub- routines. More specifically, we discuss various quantum subroutines such as quantum phase estimation and amplitude amplification, as well as the important question of loading data into a quantum computer, via quantum RAM. The improvements to the original algorithm exploit variable-time amplitude amplification as well as a method for implementing linear combinations of unitary operations (LCUs) based on a decomposition of the operators using Fourier and Chebyshev series. Finally, we discuss a linear solver based on the quantum singular value estimation (QSVE) subroutine.

研究の動機と目的

• 量子計算における広範な適用原始量として線形系の解法を動機づける。
• 線形系解のサンプリングのための HHL アルゴリズムを提示し、その限界について論じる。
• 主要な量子サブルーチン（位相推定、振幅増幅、QRAM）とデータロードの課題を説明する。
• HHL の改良（VTAA、フーリエ/チェビシェフ分解による LCU など）と QSVE ベースのアプローチを概説する。
• 非エルミート拡張と QLSA の最適性に関する考察を論じる。

提案手法

• 文脈を設定するために量子計算の基礎とゲートモデルを説明する。
• 量子サブルーチンを提示する：量子フーリエ変換、ハミルトニアンシミュレーション（トロッター＝鈴木法とそれ以降）、量子位相推定、位相キックバック、振幅増幅、アンコンピット・トリック、量子 RAM。
• 線形系問題とその量子版を定義し、HHL アルゴリズムの概要と誤差解析を提供する。
• 改善を紹介する：条件数依存性を改善する変数時間振幅増幅、精度の向上、QSVE に基づく線形系アルゴリズム（QLSA）。
• 非エルミート行列の取り扱いと QSVE ベースの手法による高密度行列への拡張を論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HHL フレームワークとその改良の下で、量子コンピュータ上で線形系を解く際の計算量はどの程度か。
• RQ2 線形系問題のためにデータを量子コンピュータに効率良くロードし、取り出す方法はどうか。
• RQ3 QLSA を支えるサブルーチンと回路プリミティブは何か、VTAA や LCU ベースの分解といった改良が性能にどう影響するか。
• RQ4 QSVE が高密度行列線形解法をどのように可能にし、QLSA へどのような影響を及ぼすか。
• RQ5 量子線形系アルゴリズムの限界と最適性の考察（例：BQP 完全性、HHL の最適性）とは何か。

主な発見

問題	アルゴリズム	実行時間の複雑さ
LSP	CG [ She94 ]	O(Ns κ log(1/ε))
QLSP	HHL [ HHL09 ]	O(log(N) s^2 κ^2 / ε)
QLSP	VTAA-HHL [ Amb10 ]	O(log(N) s^2 κ / ε)
QLSP	Childs et. al. [ CKS17 ]	O(s κ polylog(s κ / ε))
QLSA	WZP18	O(κ^2 polylog(n) ||A||_F / ε)

• HHL は適切なデータロード仮定のもと、線形系解のサンプリングに対して指数的な高速化を提供する。
• 変数時間振幅増幅などの改善により、条件数 κ への依存が低減される。
• 特定の変種では精度依存性を指数関数的に改善できる。
• フーリエ分解とチェビシェフ分解を用いた LCU ベースの実装は、ハミルトニアン様の進化をより柔軟に可能にする。
• QSVE はスパースハミルトニアン仮定を超えた高密度行列線形系解法の道を提供する。
• 非エルミート行列は拡張 HHL フレームワーク内で扱える。