[論文レビュー] "Quantum" linearization of Painlevé equations as a component of their $L,A$ pairs

B. I. Suleǐmanov|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、調和振動子ハミルトニアンを有する非定常シュレーディンガー方程式の解を用いて、自由度1のハミルトニアン常微分方程式に対する新しい「量子的」線形化手続きを導入する。この手続きにより、ボーア＝ソルマーfeld量子化軌道上では、これらの解が古典的運動量を含む一次線形常微分方程式を満たすことが示され、Painlevé方程式の$L,A$ペアに量子的線形化の新規成分が与えられる。

ABSTRACT

The procedure of the "quantum" linearization of the Hamiltonian ordinary differential equations with one degree of freedom is introduced. It is offered to be used for the classification of integrable equations of the Painleve type. By this procedure and all natural numbers $n$ we construct the solutions $Ψ(\hbar,t,x,n)$ to the non-stationary Shrödinger equation with the Hamiltonian $H = (p^2+q^2)/2$ which tend to zero as $x o\pm\infty$. On the curves $x=q_n (\hbar, t) $ defined by the old Bohr-Sommerfeld quantization rule the solutions satisfy the relation $i\hbar Ψ'_x\equiv p_n (\hbar, t) Ψ$, where $p_n (\hbar, t) = (q_n (\hbar, t)) '_t $ is the classical momentum corresponding to the harmonic $q_n (\hbar, t) $.

研究の動機と目的

• 自由度1のハミルトニアン常微分方程式の線形化手順を、量子力学的原理を用いて開発すること。
• この量子線形化手法を用いて、Painlevé型可積分方程式の$L,A$ペアを構成し、分類すること。
• 非定常シュレーディンガー方程式の解と、量子化軌道上の古典的運動量ダイナミクスとの間の関係を確立すること。
• 量子線形化方程式が既知のPainlevé方程式（特にPainlevé IVおよびII）と整合するかを検討すること。
• 量子線形化が、等モノドロミー変形系の$L,A$ペアにおける基本的構成要素となり得ることを提唱すること。

提案手法

• ハミルトニアン$H = (p^2 + q^2)/2$を有する非定常シュレーディンガー方程式の解$\Psi(\hbar,t,x,n)$を構成し、無限遠で消えるようにする。
• 解は、ボーア＝ソルマーfeld量子化則によって定義される曲線$x = q_n(\hbar,t)$上に評価され、古典的・量子的軌道を結ぶ。
• これらの曲線上で、解は$i\hbar \Psi_x' = p_n(\hbar,t) \Psi$を満たす。ここで$p_n$は調和振動子の古典的運動量である。
• この手続きは、既知の「量子化」が文献に記載されたPainlevé方程式と整合する量子線形化方程式を同定することで、Painlevé方程式へ一般化される。
• sin-Gordon方程式の$L,A$ペアから得られる線形化成分$\Phi^+$が、元の方程式の線形化形を満たすことが同定される。
• 本手法はPainlevé IVに適用され、その量子線形化が、変数の形式的置換$z \to \lambda$, $\varepsilon^2 \Phi_{\tau\tau} \to \Lambda''$などにより、標準的線形化に還元される2階偏微分方程式から導かれることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学的枠組みを用いて、自由度1のハミルトニアン常微分方程式の線形化成分を導出可能か？
• RQ2 ボーア＝ソルマーfeld曲線上の非定常シュレーディンガー方程式の解は、古典的運動量ダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ3 既知のPainlevé方程式の$L,A$ペア（特にPainlevé IV）と、この量子線形化手続きは整合するか？
• RQ4 この量子線形化から得られる線形方程式は、等モノドロミー変形系の$L,A$ペアの構成要素として機能可能か？
• RQ5 再帰作用素は、量子線形化とsin-Gordon方程式のような非線形方程式の線形化形を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 調和振動子ハミルトニアンを有する非定常シュレーディンガー方程式の解$\Psi(\hbar,t,x,n)$を構成し、無限遠で減衰することが示された。
• ボーア＝ソルマーfeld量子化軌道$x = q_n(\hbar,t)$上では、解が$i\hbar \Psi_x' = p_n(\hbar,t) \Psi$を満たす。ここで$p_n$は古典的運動量である。
• この関係は、量子波動関数と古典的ダイナミクスとの直接的な関連を確立し、新規の量子線形化メカニズムを形成する。
• Painlevé IVに関しては、量子線形化が2階偏微分方程式から導かれることが示され、変数の置換$z \to \lambda$, $\varepsilon^2 \Phi_{\tau\tau} \to \Lambda''$などの形式的置換により、標準的線形化に還元される。
• 本手法により、文献に記載された既知のPainlevé方程式の「量子化」が、提案された量子線形化フレームワークと整合することが確認された。
• この手続きにより、量子線形化が、等モノドロミー変形を介した可積分ハミルトニアン系を分類するための$L,A$ペアにおける統一的構成要素となり得ることが示唆された。