[論文レビュー] Quantum loop models and the non-abelian toric code

Paul Fendley|ArXiv.org|Nov 1, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正方形格子上の量子ループ模型に対して位相的内積を導入し、$ d > \sqrt{2} $ で脱confinedな非アーベル anyon を実現する。標準的モデルの $ d = \sqrt{2} $ の障壁を克服する。ループ接続による位相的不変性を強制するように内積を再定義することで、$ d = \sqrt{2} $ で臨界相を実現し、4スピン相互作用のみを用いて、$ d = \sqrt{2} $ でギャップを持つ非アーベル anyon を実現する。

ABSTRACT

I define quantum loop models whose degrees of freedom are Ising spins on the square lattice as in the toric code, but where the excitations should have non-abelian statistics. The inner product is topological, allowing a direct implementation of the anyonic fusion matrix on the lattice. It also makes deconfined anyons possible for a variety of values of the weight per loop $d$ in the ground state. For d=\sqrt{2}, a gapped non-abelian topological phase can occur with only four-spin interactions.

研究の動機と目的

• 量子ループ模型における $ d = \sqrt{2} $ の障壁を克服し、非位相的内積による anyon の閉じ込めを解消すること。
• ループ配置が振幅に一貫して寄与するように保証する位相的内積を定義し、接続操作における位相的不変性を維持すること。
• この内積を用いることで、古典的ループ模型が $ d > \sqrt{2} $ で臨界的であることを示し、脱confinedな anyon を実現できることを示すこと。
• 非アーベル統計が融合行列 $ F $ を通じて自然に出現することを示し、$ d = 2\cos(\pi/(k+2)) $ で $ SU(2)_k $ anyon モデルと一致することを示すこと。
• ヒルバート空間の拡張を避け、4スピン相互作用のみを用いて $ d = \sqrt{2} $ でギャップを持つ非アーベル位相的秩序を実現すること。

提案手法

• 頂点におけるループ端の接続を通じて位相的内積を定義し、$ \langle 0|\widetilde{0}\rangle = 1/d $ を満たすことで、位相的不変性を強制する。
• anyon理論における $ F $-行列を、正規直交基底 $ |0\rangle, |1\rangle $ と $ |\widetilde{0}\rangle, |\widetilde{1}\rangle $ 間のユニタリ変換として用い、$ F = \frac{1}{d} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{d^2-1} \\ \sqrt{d^2-1} & -1 \end{pmatrix} $ とする。
• ハミルトニアンを局所項 $ \mathcal{F}_p $（正四面体上のスピン1状態への射影）と $ \mathcal{J}_p $（ジョーンズ・ウェンツル射影子の実装）の和として構成する。
• 2つの結合Potts模型を模倣する partition 関数 $ \langle \Psi|\Psi \rangle = \sum_{{\cal L},{\cal L}'} d^{n_{\cal L}} d^{n_{{\cal L}'}} \lambda^{n_X} $ を導出する。ここで $ \lambda = 1/d $ である。
• BMW代数のレベルランク双対性を適用し、$ \lambda = \lambda_c = -\sqrt{2} \sin(\pi(k-2)/(4(k+2))) $ で臨界点を特定し、$ \lambda \in (1/\lambda_c, \lambda_c) $ の範囲で臨界性を示す。
• $ d = \sqrt{2} $ で、モデルが $ \lambda = 1/\sqrt{2} $ の臨界アッシュキン＝トレラー模型に還元され、$ F $-行列を通じて非アーベル anyon を支持することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル位相的秩序を持つ量子ループ模型を、修正された内積を用いて $ d = \sqrt{2} $ の限界を超えて構築可能か？
• RQ2 ループ接続に基づく位相的内積は、古典的ループ模型の臨界性および anyon の脱confined にどのように影響するか？
• RQ3 $ F $-行列は、局所的相互作用のみを用いた格子スピン模型で非アーベル統計を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 $ d = \sqrt{2} $ でヒルバート空間の拡張を避け、4スピン相互作用のみを用いてギャップを持つ非アーベル位相的秩序を達成可能か？
• RQ5 内積が位相的である場合、$ d > \sqrt{2} $ でモデルが臨界相を示すか？標準的または正規直交内積と比較するとどうなるか？

主な発見

• 位相的内積により、古典的ループ模型が $ d > \sqrt{2} $ で臨界的を保ち、標準的正規直交内積では失敗する脱confinedな anyon を実現できる。
• $ d = \sqrt{2} $ で、モデルは $ \lambda = 1/\sqrt{2} $ の臨界アッシュキン＝トレラー模型に対応し、$ F $-行列を通じて非アーベル anyon を支持する。
• $ k = 6 $ の場合、臨界点は $ \lambda = -1/d $ に位置し、$ k < 6 $ の場合、$ 1/\lambda_c < \lambda < \lambda_c $ の範囲でモデルは臨界的であり、anyon は脱confined である。
• 位相的内積を用いたハミルトニアンは、$ d = \sqrt{2} $ でギャップを持つ非アーベル anyon を支持する。ジョーンズ・ウェンツル射影子は4スピン相互作用に簡略化される。
• モデルは $ d = 2\cos(\pi/(k+2)) $ で $ SU(2)_k $ anyon 理論を実現し、$ F $-行列は任意の統計則と正確に一致する。
• 数値的証拠とレベルランク双対性により、$ \lambda \approx -1/d $ でモデルが臨界相を示すことが確認され、$ d > \sqrt{2} $ であっても長距離位相的秩序が保たれることを示す。