[論文レビュー] Quantum Lower and Upper Bounds for 2D-Grid and Dyck Language

Andris Ambainis, Kaspars Balodis+7 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Dyckk,n（深さ ≤k の括弧の整合性チェック）および2次元グリッド接続性の量子クエリ複雑性の境界を確立する。Dyckk,n に対しては、Ω(ck√n) の指数的下界を示し、k に伴い複雑性が指数的に増加することを示し、O(√n(log n)^0.5k) の量子アルゴリズムを提示する。2次元グリッド接続性に関しては、有向および無向グリッドに対してそれぞれ Ω(n^{1.5−ϵ}) および Ω(n^{2−ϵ}) の下界を示し、Dyck問題をグリッド構造に埋め込むことで得られる。

ABSTRACT

We study the quantum query complexity of two problems. First, we consider the problem of determining if a sequence of parentheses is a properly balanced one (a Dyck word), with a depth of at most $k$. We call this the $Dyck_{k,n}$ problem. We prove a lower bound of $Ω(c^k \sqrt{n})$, showing that the complexity of this problem increases exponentially in $k$. Here $n$ is the length of the word. When $k$ is a constant, this is interesting as a representative example of star-free languages for which a surprising $ ilde{O}(\sqrt{n})$ query quantum algorithm was recently constructed by Aaronson et al. Their proof does not give rise to a general algorithm. When $k$ is not a constant, $Dyck_{k,n}$ is not context-free. We give an algorithm with $O\left(\sqrt{n}(\log{n})^{0.5k} ight)$ quantum queries for $Dyck_{k,n}$ for all $k$. This is better than the trival upper bound $n$ for $k=o\left(\frac{\log(n)}{\log\log n} ight)$. Second, we consider connectivity problems on grid graphs in 2 dimensions, if some of the edges of the grid may be missing. By embedding the "balanced parentheses" problem into the grid, we show a lower bound of $Ω(n^{1.5-ε})$ for the directed 2D grid and $Ω(n^{2-ε})$ for the undirected 2D grid. The directed problem is interesting as a black-box model for a class of classical dynamic programming strategies including the one that is usually used for the well-known edit distance problem. We also show a generalization of this result to more than 2 dimensions.

研究の動機と目的

• Dyckk,n、つまり深さが最大kである括弧の列が整合的かどうかをチェックする問題の量子クエリ複雑性を特定すること。
• k が n と共に増加する場合に、Dyckk,n のタイトな下界および上界を確立し、非文脈自由スターフリー言語における量子高速化の限界を理解すること。
• 欠落した辺を含む2次元およびd次元グリッドグラフにおける接続性の量子クエリ複雑性を分析すること。動的計画法および編集距離の動機付けから出発。
• Dyckk,n およびグリッド接続性の量子アルゴリズムが、古典的動的計画法戦略の下界を導出するために利用できることを示すこと。
• 結果を高次元グリッドに一般化し、接続性問題を通じた動的計画法における量子高速化を探索すること。

提案手法

• 多項式法とアドバーガー法のハイブリッドを用いて、Dyckk,n に対して Ω(ck√n) の量子クエリ下界を証明し、k に指数的依存があることを示す。
• 振幅増幅と括弧構造の再帰的分解を用いて、O(√n(log n)^0.5k) クエリの量子アルゴリズムを構築する。
• ネストされた括弧をグリッド内のパスにマッピングすることで、Dyckk,n インスタンスを2次元グリッドグラフに埋め込む。深さ制約は幾何的配置によって保持される。
• グリッド埋め込みを用いて、Dyckk,n から2次元グリッド接続性への下界を転送し、有向グリッドに対しては Ω(n^{1.5−ϵ})、無向グリッドに対しては Ω(n^{2−ϵ}) を証明する。
• 次元を繰り返し折りたたみ、部分グリッド埋め込みを用いることで、d次元グリッドへの下界を一般化し、無向グリッドに対しては Ω((n₁⋯n_d)^{1−ϵ})、有向グリッドに対しては Ω((n_{d-1} ∏n_i)^{1/2−ϵ}) を証明する。
• スパンプログラム法および量子ウォーク技術を分析に適用するが、有向ケースでは非対称な接続性のため、代替手法が必要となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k が n と共に増加するとき、Dyckk,n の量子クエリ複雑性はどのように変化し、k に指数的依存を示すか？
• RQ2 k が定数でない場合に、Dyckk,n の量子アルゴリズムはサブ線形クエリ複雑性を達成できるか？古典的 n クエリ境界と比べてどうなるか？
• RQ3 辺が欠落する可能性がある2次元グリッドの有向および無向接続性の量子クエリ複雑性は何か？
• RQ4 Dyck言語問題をグリッドグラフに埋め込むことで、グリッド接続性の下界を導出できるか？
• RQ5 d次元グリッド接続性の量子クエリ複雑性の境界は何か？次元およびグリッドサイズにどのように依存するか？

主な発見

• ある c > 1 に対して、すべての k ≤ log n に対して Dyckk,n の量子クエリ複雑性は Ω(ck√n) である。これは k に指数的依存があることを示している。
• k = c log n（適切な c）のとき、複雑性は Ω(n^{1−ϵ}) にまで上昇し、深さが対数的であっても、無限大深さのものとほぼ同等に難しいことが示された。
• 明示的な Dyckk,n 用量子アルゴリズムは O(√n(log n)^0.5k) クエリを達成し、k = o(log n / log log n) のとき、古典的 n クエリ境界を上回る。
• 有向2次元グリッド接続性の量子クエリ複雑性は Ω(n^{1.5−ϵ})、無向グリッドでは Ω(n^{2−ϵ}) であり、いずれも ϵ に依存しないタイトな下界である。
• 2次元グリッドの下界は、Dyckk,n インスタンスをグリッドに埋め込むことで得られ、グリッド接続性を解くことは Dyckk,n を解くのと同程度以上に難しいことを示している。
• d次元グリッドでは、無向接続性に対しては Ω((n₁⋯n_d)^{1−ϵ}) の下界が、やや条件を満たす限り成立し、有向グリッドでは Ω((n_{d-1} ∏n_i)^{1/2−ϵ}) が得られ、2次元の結果が一般化された。