[論文レビュー] Quantum Lower Bounds for Approximate Counting via Laurent Polynomials

Scott Aaronson, Robin Kothari+2 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Apr 18, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ多項式を用いて、近似カウントの最適な量子下界を確立し、QMA設定において、量子ワーニングがΩ(|S|)キュービットであるか、クエリ複雑性がΩ(√(N/|S|))である必要があることを証明している。さらに、QサンプルまたはQサンプリングへのユニタリアクセスが与えられても、同じクエリまたはサンプル複雑性の下界が成り立つことが示され、SBPとQMAの間のオракル分離に関する未解決問題が解決された。

ABSTRACT

We study quantum algorithms that are given access to trusted and untrusted quantum witnesses. We establish strong limitations of such algorithms, via new techniques based on Laurent polynomials (i.e., polynomials with positive and negative integer exponents). Specifically, we resolve the complexity of approximate counting, the problem of multiplicatively estimating the size of a nonempty set $S \subseteq [N]$, in two natural generalizations of quantum query complexity. Our first result holds in the standard Quantum Merlin--Arthur ($\mathsf{QMA}$) setting, in which a quantum algorithm receives an untrusted quantum witness. We show that, if the algorithm makes $T$ quantum queries to $S$, and also receives an (untrusted) $m$-qubit quantum witness, then either $m = Ω(|S|)$ or $T=Ω\bigl(\sqrt{N/\left| S ight| } \bigr)$. This is optimal, matching the straightforward protocols where the witness is either empty, or specifies all the elements of $S$. As a corollary, this resolves the open problem of giving an oracle separation between $\mathsf{SBP}$, the complexity class that captures approximate counting, and $\mathsf{QMA}$. In our second result, we ask what if, in addition to a membership oracle for $S$, a quantum algorithm is also given "QSamples" -- i.e., copies of the state $\left| S ight angle = \frac{1}{\sqrt{\left| S ight| }} \sum_{i\in S}|i angle$ -- or even access to a unitary transformation that enables QSampling? We show that, even then, the algorithm needs either $Θ\bigl(\sqrt{N/\left| S ight| }\bigr)$ queries or else $Θ\bigl(\min \bigl\{\left| S ight| ^{1/3}, \sqrt{N/\left| S ight| }\bigr\}\bigr)$ QSamples or accesses to the unitary. Our lower bounds in both settings make essential use of Laurent polynomials, but in different ways.

研究の動機と目的

• QMAモデルにおける近似カウントの量子クエリ複雑性を解明すること。このモデルでは、量子アルゴリズムが信頼できない量子ワーニングを受け取る。
• QMAにおける近似カウントのワーニングサイズとクエリ複雑性のトレードオフに対するタイトな下界を確立すること。
• 標準のクエリオラクルを越えて、QサンプルまたはQサンプリングへのユニタリアクセスを備えた量子アルゴリズムのパワーを調査すること。
• ローレンツ多項式技術を、量子ワーニングや量子サンプルを伴う設定における量子下界を証明する新しい手法として開発・適用すること。
• SBP（近似カウントを捉える複雑性クラス）がQMAに対してオラクル分離を有するかどうかという未解決問題を、新しい下界技術を用いて解決すること。

提案手法

• ローレンツ多項式（正負の整数乗を含む多項式）を、量子ワーニングを伴う量子クエリ複雑性における下界を証明するための中心的分析的ツールとして用いる。
• QMAアルゴリズムの下界を導出するために、受容確率を表す多項式の次数と構造を分析することで、ローレンツ多項式法を適用する。
• 双対多項式法と補完性スラックネスを用いて、クエリ複雑性の下界を証明する明示的な双対解を構築する。
• Qサンプリングの文脈において、特に摂動下でのローレンツ多項式の挙動を分析するための「爆発的議論（explosion argument）」を導入する。
• 近似理論と対称多項式の技術を組み合わせ、多項式表現における個々の変数の影響を制限する。
• Qサンプルの設定への拡張において、状態|S⟩ = 1/√|S| Σ_{i∈S} |i⟩へのユニタリアクセスの効果をモデル化し、クエリとサンプルの両方の下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QMAモデルにおいて、近似カウントを解く量子アルゴリズムのワーニングサイズとクエリ複雑性の最適なトレードオフは何か？
• RQ2 ローレンツ多項式を用いて、量子ワーニングまたはQサンプルを伴う量子アルゴリズムのタイトな下界を確立できるか？
• RQ3 複雑性クラスSBP（近似カウントを捉えるもの）とQMAの間にオラクル分離があるか？
• RQ4 QサンプルまたはQサンプリングへのユニタリアクセスが、近似カウントのクエリ複雑性とサンプル複雑性にどのように影響するか？
• RQ5 集合Sを符号化する量子状態へのアクセスを併せ持つ、メンバークエリと組み合わせた量子アルゴリズムの限界は何か？

主な発見

• QMAモデルにおいて、近似カウントを解くいかなるアルゴリズムも、Ω(√(N/|S|))のクエリを実行するか、Ω(|S|)-キュービットのワーニングを使用する必要がある。これは最適であり、2つの自明なプロトコルと一致する。
• 本稿は、SBPとQMAの間のオラクル分離を与える未解決問題を解決し、オラクルに関してSBPがQMAに含まれないことを示した。
• QサンプルまたはQサンプリングを可能にするユニタリへのアクセスが与えられても、アルゴリズムは依然としてΘ(√(N/|S|))のクエリ、またはΘ(min{|S|^{1/3}, √(N/|S|)})のQサンプルまたはユニタリアクセスが必要である。
• 下界はタイトであり、既知の上界と一致しており、ワーニングまたはサンプルを伴う近似カウントの既存の量子アルゴリズムの最適性を示している。
• ローレンツ多項式は、これらの下界を証明するために不可欠であり、QMAとQサンプリングの両設定で明確に異なる応用を持つことが示された。
• 分析により、ワーニングのサイズとクエリ数の間のトレードオフが明らかになり、両者の資源のいずれかが十分に大きい場合にのみ最適なバランスが達成される。