[論文レビュー] Quantum Lower Bounds for Distributed Network Computing

Michael Elkin, Hartmut Klauck+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、分散コンピューティングと通信複雑性を橋渡しする新しい量子通信フレームワーク「Serverモデル」を導入し、最小全域木や最短経路といった基本的なグローバル問題に対する、初めての量子下界を確立する。通信複雑性からの非局所ゲーム技術を応用することで、多くの古典的下界が量子設定でも成立することを示し、広範な問題クラスにおいて量子の利点が限定的であることを証明する。

ABSTRACT

We study lower bounds for quantum distributed computing, where a set of nodes (representing quantum computers) interconnected by an underlying network consisting of (bandwidth-restricted) links, communicate using quantum communication. Nodes have unlimited computational power and may share an unlimited number of entangled qubits. Our main contribution is a simple uniform technique for proving lower bounds for quantum distributed algorithms. In particular, we identify a new quantum communication model called the Server model which provides a connection between distributed algorithms and communication complexity: it is strong enough to capture the hardness of several distributed computing problems, while weak enough that several hard problems in two-party communication complexity remain hard; to this end, we identify a set of communication complexity techniques that can be carried over to the Server model, namely techniques based on nonlocal games. We show that these techniques serve as a fundamental tool in proving lower bounds in quantum distributed computing. The new techniques help us to prove several non-trivial quantum distributed lower bounds (which are the first-known quantum bounds for fundamental global problems such as minimum spanning tree, shortest paths etc.), some of which are new even in the classical setting. First, it allows us to show that all previous classical lower bounds of more than twenty verification and optimization graph problems in [Das Sarma et al., STOC 11] also hold in the quantum setting. Many of these bounds are tight, implying a large class of problems that do not gain an advantage from quantum effects. Our results also imply the following new results in the classical communication models: (1) the first randomized lower bounds for Hamiltonian cycle and spanning tree verification problems in both the distributed computing and the communication complexity model, answering the open problem of Das Sarma et al. and subsuming many bounds in [Babai, Frankl, and Simon, FOCS 96], and (2) the first lower bound that is tight for all weight aspect ratios, matching previous upper bounds of [Elkin, STOC 04]. Submitted for a Regular Presentation. The full version of this paper can be found as [15] at http://arxiv.org/abs/1207.5211. ∗Department of Computer Science, Ben-Gurion University, Beer-Sheva, 84105, Israel. E-mail: [e-mail]. †Division of Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371 & Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore, Singapore 117543. E-mail: [e-mail]. Research at the Centre for Quantum Technologies is funded by the Singapore Ministry of Education and the National Research Foundation. ‡Division of Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371. Work partially done while at University of Vienna, Austria. E-mail: [e-mail]. §Division of Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371 & Department of Computer Science, Brown University, Providence, RI 02912, USA. E-mail: [e-mail]. Supported in part by the following research grants: Nanyang Technological University grant M58110000, Singapore MOE Academic Research Fund (AcRF) Tier 2 grant MOE2010-T2-2-082, and a grant from the US-Israeli Binational Science Foundation (BSF).

研究の動機と目的

• 帯域制限のある分散ネットワークにおける量子下界を証明する統一的枠組みの開発。
• 量子もつれと無制限の局所計算が可能でも、根本的な分散問題が量子高速化の恩恵を受けない問題を特定すること。
• 特に非局所ゲームを含む、古典的通信複雑性技術を量子分散設定へと拡張すること。
• ハミルトニアン閉路およびスパニングツリーの検証に関する、古典的分散計算の未解決問題を、新しい確率的下界を導出することで解決すること。
• ネットワーク最適化におけるすべての重み比の範囲で、既存の上界と一致するタイトな下界を確立すること。

提案手法

• 分散問題の難易度を保ちつつ、2人用通信複雑性問題の難易度も維持する、量子通信モデルとしてのServerモデルを提唱する。
• 通信複雑性から得られる非局所ゲーム技術を、Serverモデルにおける量子プロトコルの分析に適応する。
• Serverモデルを用いて量子分散アルゴリズムをシミュレート・分析し、通信コストともつれの使用量に注目する。
• 既知の2人用通信複雑性における難問から、分散ネットワーク問題への還元を確立する。
• 非局所ゲームの構造を活用し、分散設定における量子通信複雑性の下界を導出する。
• 古典的下界が量子設定へと持ち越されることを示し、量子プロトコルが広範なグローバルグラフ問題において古典的手法を上回れないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通信複雑性からの非局所ゲーム技術を、分散ネットワークにおける量子下界を証明するために適応可能か？
• RQ2 最小全域木や最短経路といった基本的なグローバル問題において、量子分散アルゴリズムは古典的手法に優位性を示せるか？
• RQ3 分散ネットワークにおける検証および最適化問題の古典的下界が、量子設定でも有効であるか？
• RQ4 確率的モデルにおけるハミルトニアン閉路およびスパニングツリー検証の、最もタイトな下界は何か？
• RQ5 量子通信複雑性技術を用いて、すべての重み比の範囲で既知の上界と一致するタイトな下界を証明できるか？

主な発見

• 最小全域木や最短経路といった基本的グローバル問題に対する、初めての量子下界が確立され、これらの問題では量子の利点がないことが示された。
• Das Sarmaら（STOC 2011）が提示した20以上の検証および最適化問題におけるすべての古典的下界が、量子設定でも成立することが判明し、この広範なクラスにおいて量子高速化がないことが示された。
• 本論文は、分散コンピューティングおよび通信複雑性モデルの両方において、ハミルトニアン閉路およびスパニングツリー検証に関する、初めての確率的下界を提供した。
• Elkin（STOC 2004）の上界と一致するタイトな下界が証明され、ネットワーク最適化における未解決問題が解決された。
• Serverモデルは、2人用通信複雑性から非局所ゲームベースの技術を分散設定へと効果的に移行でき、新たな下界証明を可能にした。
• 結果から、多くの分散グラフ問題において、量子もつれと無制限の局所計算が、本質的な通信複雑性の障壁を打ち破れないことが示唆された。