[論文レビュー] Quantum lozenge tiling and entanglement phase transition

Zhao Zhang, Israel Klich|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2022

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、三角格子上の色付きラズベリー・タイリングに基づく2次元のフレストラクションフリーな量子ハミルトニアンを導入し、1次元のFredkinスピン鎖を一般化する。色の自由度と高さ表現を組み込むことで、エンタングルメントエントロピーが臨界点で $L\log L$ にスケーリングする臨界エンタングルメント相転移を示し、2次元において面積則の最大の破れを達成する。

ABSTRACT

While volume violation of area law has been exhibited in several quantum spin chains, the construction of a corresponding ground state in higher dimensions, entangled in more than one direction, has been an open problem. Here we construct a 2D frustration-free Hamiltonian with maximal violation of the area law. We do so by building a quantum model of random surfaces with color degree of freedom that can be viewed as a collection of colored Dyck paths. The Hamiltonian may be viewed as a 2D generalization of the Fredkin spin chain. It relates all the colored random surface configurations subject to a Dirichlet boundary condition and hard wall constraint from below to one another, and the ground state is therefore a superposition of all such classical states and non-degenerate. Its entanglement entropy between subsystems undergoes a quantum phase transition as the deformation parameter is tuned. The area- and volume-law phases are similar to the one-dimensional model, while the critical point scales with the linear size of the system $L$ as $L\log L$. Further it is conjectured that similar models with entanglement phase transitions can be built in higher dimensions with even softer area law violations at the critical point.

研究の動機と目的

• エンタングルメントエントロピーの面積則に対する最大の破れを示す2次元量子スピン模型を構築すること。
• ラズベリー・タイリングと色の自由度を用いて、1次元のFredkinおよびMotzkinスピン鎖を2次元に一般化すること。
• 変形パrameter $q$ によって制御されるエンタングルメント相転移を示し、面積則 ($q<1$)、臨界 $L\log L$ スケーリング ($q=1$)、体積則 ($q>1$) の異なるスケーリング行動を明らかにすること。
• 色の自由度と高さ制約が高次元におけるエンタングルメントスケーリングに与える影響を調査すること。
• 高次元におけるこのようなモデルの挙動を予測し、$d>2$ では臨界において $L^{d-1}\sqrt{\log L}$ スケーリングが得られることを示すこと。

提案手法

• ヘキサゴナル格子上の2次元デュアル・トライアングル格子へのラズベリー・タイリングへの2次元デュアル・トライアングル格子への写像を用い、各デュアル・ドミノに $s^2$ 個の内部色状態を割り当てる。
• 完全配置のデュアル・コンストレイントを満たす投影演算子を用いたフレストラクションフリーなハミルトニアンを定義し、$H_0 = \sum_{\mathbf{r}} \left(\sum_{i=1}^3 n_{\mathbf{r},\mathbf{r}+\mathbf{e}_i} - 1\right)^2$ と表す。
• 変形パrameter $q$ を導入し、q-変形ハミルトニアンを用いて、基底状態の重ね合わせにおける異なるタイリング配置の重みを制御する。
• 三角格子上の高さ関数を定義し、3つの格子方向に $\pm1$ の変化をもたせ、ディリクレ境界条件下で内部で正の値を保証する。
• エントロピー的反発の議論を適用し、高次元において平均高さが $\sqrt{\log L}$ にスケーリングすることを示し、臨界においてエンタングルメントが強化されることを示す。
• エンタングルメントエントロピーを色の自由度と高さフラクチュエーションの寄与に分解し、異なる $q$ の領域におけるスケーリングを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的、等方的相互作用を持つ2次元量子スピン模型が、エンタングルメントエントロピーの面積則に対する最大の破れを示すことができるか？
• RQ2 ラズベリー・タイリングにおける色の自由度の導入が、2次元量子系におけるエンタングルメントスケーリングにどのように影響するか？
• RQ3 変形パrameter $q$ によって制御される相転移の臨界点におけるエンタングルメントエントロピーのスケーリングは何か？
• RQ4 2次元モデルを高次元に一般化できるか？その場合、どのようなスケーリング行動が現れるか？
• RQ5 境界条件、近接スピン相互作用、色の一致の相互作用が、非自明なエンタングルメント構造を生じるメカニズムは何か？

主な発見

• ディリクレ境界条件と正の高さ関数の部分空間において、非 degenerate な基底状態を持つ2次元フレストラクションフリーなハミルトニアンを実現する。
• エンタングルメントエントロピーは $q=1$ で相転移を示し、$O(L\log L)$ にスケーリングする。これは2次元において面積則の最大の破れを表す。
• $q>1$ の場合、エンタングルメントエントロピーは $O(L^2)$ にスケーリングし、フラクチュエーションの強い閉じ込めにより体積則スケーリングを示す。
• $q<1$ の場合、エンタングルメントエントロピーは $O(L)$ にスケーリングし、色の寄与が広い配置分布により抑制されるため、面積則の行動と整合する。
• $q=1$ のとき、色に起因するエンタングルメントエントロピーの寄与は $O(L\log L)$ にスケーリングし、正の制約下での高さ関数のエントロピー的反発によって駆動される。
• 高次元（$d>2$）では、臨界におけるエンタングルメントエントロピーは $L^{d-1}\sqrt{\log L}$ にスケーリングする。これはエントロピー的反発下での平均高さが $\sqrt{\log L}$ にスケーリングするためである。