[論文レビュー] Quantum machine learning with subspace states

Iordanis Kerenidis, Anupam Prakash|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、指数的または高次多項式の高速化を実現する新しい量子機械学習アルゴリズムを可能にするために、量子部分空間状態を導入する。3つのアルゴリズムを提示する：O(nd)ゲートとO(d log n)の深さを有する行列式サンプリング、化合物行列の特異値推定（潜在的に指数的高速化）、およびディラック作用素をクリフォードローダーに基づくユニタリに埋め込むことで得られる対数的深さの量子トポロジカルデータ分析回路。

ABSTRACT

We introduce a new approach for quantum linear algebra based on quantum subspace states and present three new quantum machine learning algorithms. The first is a quantum determinant sampling algorithm that samples from the distribution $\Pr[S]= det(X_{S}X_{S}^{T})$ for $|S|=d$ using $O(nd)$ gates and with circuit depth $O(d\log n)$. The state of art classical algorithm for the task requires $O(d^{3})$ operations \cite{derezinski2019minimax}. The second is a quantum singular value estimation algorithm for compound matrices $\mathcal{A}^{k}$, the speedup for this algorithm is potentially exponential. It decomposes a $\binom{n}{k}$ dimensional vector of order-$k$ correlations into a linear combination of subspace states corresponding to $k$-tuples of singular vectors of $A$. The third algorithm reduces exponentially the depth of circuits used in quantum topological data analysis from $O(n)$ to $O(\log n)$. Our basic tool are quantum subspace states, defined as $|Col(X) angle = \sum_{S\subset [n], |S|=d} det(X_{S}) |S angle$ for matrices $X \in \mathbb{R}^{n imes d}$ such that $X^{T} X = I_{d}$, that encode $d$-dimensional subspaces of $\mathbb{R}^{n}$. We develop two efficient state preparation techniques, the first using Givens circuits uses the representation of a subspace as a sequence of Givens rotations, while the second uses efficient implementations of unitaries $Γ(x) = \sum_{i} x_{i} Z^{\otimes (i-1)} \otimes X \otimes I^{n-i}$ with $O(\log n)$ depth circuits that we term Clifford loaders.

研究の動機と目的

• QRAMやスパース行列に基づく既存の量子機械学習アルゴリズムの限界に対処する。これらの手法は、デクアンタイゼーションの結果により、エンドツーエンドの高速化が困難である。
• 量子トポロジカルデータ分析（TDA）および線形代数アルゴリズムにおける高い回路深さと状態準備のオーバーヘッドを克服する。
• 構造的量子線形代数タスクにおける効率的な状態準備とユニタリブロック符号化を可能にする、量子部分空間状態に基づく新しいフレームワークを開発する。
• 回路深さをO(n)からO(log n)に低減することで、低ランクおよびトポロジカルデータ分析における実用的な量子優位性の道筋を提供する。

提案手法

• 正規直交行列X ∈ ℝ^{n×d}に対して、|Col(X)⟩ = ∑_{S⊂[n],|S|=d} det(X_S) |S⟩ として、ℝ^nのd次元部分空間を符号化する量子部分空間状態を定義する。
• 2つの効率的な状態準備技術を導入する：回転列による部分空間表現のためのギヴィングス回路、およびO(log n)の深さで実装可能なユニタリΓ(x) = ∑_i x_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−i)} を実装するクリフォードローダー。
• 単体的複体のディラック作用素をブロック符号化された行列として扱い、それがU = ∑_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−1)} というユニタリの部分行列であることを示す。このユニタリはクリフォードローダーを用いて対数的深さで実装可能である。
• クリフォードローダーに基づくユニタリへのディラック作用素のブロック符号化を活用し、回路深さを低減させた特異値推定および固有値サンプリングを実現する。
• ユニタリ埋め込みを用いて、O(n)-深さの回路をO(log n)-深さの代替回路に置き換えることで、量子トポロジカルデータ分析にフレームワークを適用する。
• 低深さブロック符号化を基盤に、固有値推定の高速化を実現するための特異値変換およびキュービット化技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子部分空間状態は、QRAMベースの手法を凌駕する、証明可能な高速化を実現する新たな量子機械学習アルゴリズムを可能にするか？
• RQ2 ブロック符号化技術を用いて、量子トポロジカルデータ分析の回路深さをO(n)からO(log n)に低減できるか？
• RQ3 部分空間状態表現を用いることで、化合物行列𝒜ᵏの特異値推定において指数的または高次多項式の高速化を達成できるか？
• RQ4 クリフォードローダー回路を用いて、部分空間を符号化する量子状態を効率的に準備し、対数的深さの構造的ユニタリを実装できるか？
• RQ5 部分空間状態と低深さ構成を用いることで、量子機械学習に対するデクアンタイゼーションの脅威をどの程度軽減できるか？

主な発見

• 量子行列式サンプリングアルゴリズムはO(nd)ゲートとO(d log n)の回路深さで実行され、古典的手法のO(d³)アルゴリズムに比べ顕著な改善を示す。
• 化合物行列𝒜ᵏの量子特異値推定アルゴリズムは、k次相関を部分空間状態の線形結合に分解することにより、潜在的に指数的高速化を達成する。
• 単体的複体のディラック作用素は、U = ∑_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−1)} というユニタリの部分行列であることが示され、クリフォードローダーを用いた対数的深さでの実装が可能である。
• ディラック作用素の量子回路はO(n log n)ゲートとO(log n)の深さで構築され、従来のTDA手法におけるO(n)の深さから顕著に低減されている。
• ディラック作用素の低深さユニタリへのブロック符号化により、キュービット化と特異値変換を組み合わせることで、量子トポロジカルデータ分析における回路深さを指数的に低減できる。
• このフレームワークは、量子TDAにおける高深さ回路のブラックボックス互換の代替を提供し、同じ漸近的実行時間維持の下で深さを著しく低減する。これは、近位量子デバイスにとって極めて重要である。