[論文レビュー] Quantum Many-body Bootstrap

Xizhi Han|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

Quantum many-body systems参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所格子系における基底状態エネルギーおよび物理量の非自明な下界を導出する、きめの細かい量子多体ブートストラップ法を提案する。この手法は、演算子期待値の正定値性制約を用い、バリエーション的上界と組み合わせることで、基底状態の性質をきわめて鋭く制約する。1次元および2次元の Hubbard モデルに対して実証されたが、近似や符号問題を含まず、正確で非摂動的な制約を提供する。

ABSTRACT

A numerical bootstrap method is proposed to provide rigorous and nontrivial bounds in general quantum many-body systems with locality. In particular, lower bounds on ground state energies of local lattice systems are obtained by imposing positivity constraints on certain operator expectation values. Complemented with variational upper bounds, ground state observables are constrained to be within a narrow range. The method is demonstrated with the Hubbard model in one and two dimensions, and bounds on ground state double occupancy and magnetization are discussed.

研究の動機と目的

• 一般の局所的量子多体系において、摂動論的でなく、厳密な方法で基底状態エネルギーおよび物理量の下界を求める。
• 近似手法の限界を克服し、数値的アルゴリズムのベンチマークとして使える正確な下界を提供する。
• 空間的に局所的な演算子に注目し、正定値性制約を課すことにより、変分的密度行列理論を無限格子に拡張する。
• 正確な解や高精度数値計算が得られる1次元および2次元 Hubbard モデルにおいて、本手法の有効性を示す。
• バリエーション的上界と補完的に作用する厳密な下界を提供し、二重占有数や磁化といった物理量の基底状態値の範囲を狭める。

提案手法

• 演算子期待値の正定値性制約を課す：$\langle O^\dagger O \rangle \geq 0$、$\langle I \rangle = 1$、および$\langle O^\dagger \rangle = \langle O \rangle^*$ により物理的整合性を保証する。
• 保存量 $C_\alpha$ に対して $\langle [C_\alpha, O] \rangle = 0$、対称性生成子 $U_\alpha$ に対して $\langle U_\alpha^{-1} O U_\alpha \rangle = \langle O \rangle$ を用いて対称性制約を導入する。
• 上記の制約を満たす線形汎関数の集合 $\mathcal{A}$ 上で $\mathcal{F}[H]$ を最小化することで、基底状態エネルギーの下界を求める。この最小化には半正定値計画法を用いる。
• 真の基底状態 $\rho_0$ に対して $\mathcal{F}[O] = \operatorname{tr}(\rho_0 O)$ は常に $\mathcal{A}$ に属するため、$E_{\text{lb}} \leq E_0$ が保証される。
• 空間的に局所的な演算子に制限することで、無限格子への一般化を可能にし、熱力学的極限における多体相関を体系的に探査できる。
• 制約集合のサイズ $K=\infty$ への外挿により、下界の精度が向上し、有限の $K$ 値におけるフィッティングにより誤差を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 演算子期待値の正定値性制約を用いて、局所的量子多体系における基底状態エネルギーの厳密な下界を導出できるか？
• RQ2 二重占有数やステアッタード磁化といった物理量のブートストラップ下界は、最先端のバリエーション的および数値的正確解とどのように一致するか？
• RQ3 フェルミオンの符号問題や無限次元ヒルベルト空間を持つ系において、本手法が非自明で非摂動的な基底状態性質の制約を提供できるか？
• RQ4 バリエーション的上界と組み合わせた場合、ブートストラップ法が物理量の制約をどの程度鋭くできるか、および得られる範囲がどれほど狭まるか？
• RQ5 非局所的相関やスペクトル関数を含めるように本手法を拡張できるか。これにより、長距離秩序や競合相の検出が可能になるか？

主な発見

• 1次元 Hubbard モデルの半充填状態において、ブートストラップによる基底状態エネルギー下界は正確解の1%以内に収束し、高い精度を示した。
• 2次元系において、$n=1$ および $U=8$ のとき、$K=\infty$ における基底状態エネルギー下界は $E_{\text{lb}}|_{K=\infty} = -0.77(3)$ であり、AFQMC 結果と1%以内の一致を示した。
• 半充填状態および $U=8$ のときの二重占有数について、ブートストラップ下界は $d_{\text{lb}}|_{K=\infty} = 0.050(3)$ であり、DMRG や DMET の結果と整合的であった。
• $U=8$ のときのスティリッジド磁化の上界は $m_{\text{ub}}|_{K=\infty} = 0.34(2)$ であり、ヘイゼンベルグ限界 $\approx 0.307$ に近づいていた。
• 本手法はバリエーション的上界と補完的に作用する厳密で非摂動的な下界を提供し、基底状態物理量の不確実性を数パーセントの範囲にまで狭めた。
• $K$ が有限の値から $K=\infty$ への外挿により、信頼性の高い推定値が得られ、数値的不確実性はフィッティングの品質および標準誤差を用いて定量的に評価された。