[論文レビュー] Quantum Margulis expanders

Gross, D., Jens Eisert|ArXiv.org|Oct 3, 2007

Optical Network Technologies被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、離散ウィグナー関数形式を用いて古典的マーグリス拡張子を量子化することで、量子拡張子の明示的かつ新しい構成を提示する。この手法は元のグラフの次数およびスペクトル的性質を保持し、低次のクラウス演算子を持つ量子チャネルを生成する。このチャネルは、任意の入力状態を最大混合状態へ迅速に混合させる。反復による2階モーメントの指数的発散が示される。

ABSTRACT

We present a simple way to quantize the well-known Margulis expander map. The result is a quantum expander which acts on discrete Wigner functions in the same way the classical Margulis expander acts on probability distributions. The quantum version shares all essential properties of the classical counterpart, e.g., it has the same degree and spectrum. Unlike previous constructions of quantum expanders, our method does not rely on non-Abelian harmonic analysis. Analogues for continuous variable systems are mentioned. Indeed, the construction seems one of the few instances where applications based on discrete and continuous phase space methods can be developed in complete analogy.

研究の動機と目的

• 構造的および性質的に古典的拡張子グラフを模倣する、単純で明示的な量子拡張子の構成を提供すること。
• 離散ウィグナー関数技法が、非アーベル調和解析に依存せずに、古典的拡張子写像の直接的な量子化を可能にすることを示すこと。
• シンプレクティックおよびメタプレクティック表現を用いて、連続変数系へのこの構成の拡張を試みること。
• 得られた量子拡張子が、繰り返し適用された際に共分散行列要素に指数的成長を引き起こすことを示すこと。これは強力な混合性を示唆する。
• 離散的および連続的位相空間形式の間における、量子拡張子の構成の完全な類似性を確立すること。

提案手法

• Z_N × Z_N 格子上の古典的マーグリス拡張子写像が、その作用を離散ウィグナー関数に表現することで量子化される。元の4つのアフィン変換とその逆変換が保持される。
• 量子チャネルは、D=8のクラウス演算子に対応する完全正の写像として定義され、密度行列上でのワイル＝ヘイゼンベルク位相変位に作用する。
• 位相空間分布の進化は、写像が位相空間分布に線形的に作用するというウィグナー関数表現を用いて追跡される。
• 連続系では、量子拡張子はメタプレクティック表現を介して実現され、シンプレクティック変換が量子状態上のユニタリ操作に写像される。
• 状態の2階モーメントは、線形写像f(γ)に従って進化する。この写像には、シンプレクティック変換の寄与と、ランダムウォークの分散を表す正定値行列Gが含まれる。
• 主な技術的ステップは、共分散行列の支配的成長行動を捉える、反復写像g(γ) = T₁γT₁ᵀ + T₁⁻¹γT₁⁻ᵀ + T₂γT₂ᵀ + T₂⁻¹γT₂⁻ᵀの解析である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的マーグリス拡張子は、位相空間手法を用いて体系的に量子化可能であり、同じ次数およびスペクトル的性質を持つ量子拡張子を生成するか？
• RQ2 得られた量子チャネルは、古典的状況と同様に、わずか数個のクラウス演算子で迅速な混合を示すか？
• RQ3 同じ構成は、シンプレクティックおよびメタプレクティック変換を用いて連続変数系へ拡張可能か？
• RQ4 量子拡張子写像を繰り返し適用した場合、2階モーメントの長期的挙動はいかなるものか？
• RQ5 離散的および連続的位相空間形式は、量子拡張子の同型的構成をどの程度可能にするか？

主な発見

• 量子マーグリス拡張子は、離散ウィグナー関数を用いて明示的に構成され、古典的バージョンと同一の次数D=8およびスペクトルギャップを有する。
• 量子チャネルは完全正の写像として作用し、8つのクラウス演算子を有することで、低次数の実装が可能であり、最大混合状態への迅速な混合が達成される。
• 状態の2階モーメントは線形写像f(γ)に従って進化し、共分散行列γの主要対角成分は反復回数nに対して指数関数的に増大し、∼3ⁿのようになる。
• 共分散行列のトレースおよび行列式の漸近的成長率は、3ⁿに対して対数的に比例し、指数的発散が確認される。
• 共分散行列上の反復写像g(γ)は、γ⁽ⁿ⁾ = [3ⁿα + (−1)ⁿβ, b; b, 3ⁿα − (−1)ⁿβ]をもたらし、主要対角成分に指数的成長が見られる。
• この構成により、離散的および連続的量子拡張子の間の完全な類似性が確立され、両者ともシンプレクティックおよびメタプレクティック変換によって支配される。