[論文レビュー] Quantum Matching Theory (with new complexity theoretic, combinatorial and topological insights on the nature of the Quantum Entanglement)

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Jan 7, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、量子情報におけるランク非減少線形正の弱可分作用素と幾何的マトロイド交叉性の間の同等性を確立するための量子マッチング理論を導入する。このような作用素が完全正定値であるための必要十分条件として、T(X) − AXA† が完全正定値であるような非特異行列 A が存在することを示し、チョイ行列の量子パーマネントに対する下界 QP(CH(T)) ≥ N!|Det(A)|² > 0 を得る。

ABSTRACT

Classical matching theory can be defined in terms of matrices with nonnegative entries. The notion of Positive operator, central in Quantum Theory, is a natural generalization of matrices with nonnegative entries. Based on this point of view, we introduce a definition of perfect Quantum (operator) matching . We show that the new notion inherits many "classical" properties, but not all of them . This new notion goes somewhere beyound matroids . For separable bipartite quantum states this new notion coinsides with the full rank property of the intersection of two corresponding geometric matroids . In the classical situation, permanents are naturally associated with perfects matchings. We introduce an analog of permanents for positive operators, called Quantum Permanent and show how this generalization of the permanent is related to the Quantum Entanglement. Besides many other things, Quantum Permanents provide new rational inequalities necessary for the separability of bipartite quantum states . Using Quantum Permanents, we give deterministic poly-time algorithm to solve Hidden Matroids Intersection Problem and indicate some "classical" complexity difficulties associated with the Quantum Entanglement. Finally, we prove that the weak membership problem for the convex set of separable bipartite density matrices is NP-HARD.

研究の動機と目的

• 密度行列上の線形作用素を通じて、量子もつれと組合せ的・位相的構造を結びつける新しい理論的枠組みを確立すること。
• 幾何的マトロイド交叉を用いて、線形正の弱可分作用素 T がランク非減少である条件を同定すること。
• このような作用素が完全正定値であるための条件を特定すること、特に非特異行列 A の存在を根拠とすること。
• 作用素 T のチョイ行列の量子パーマネントに対する下界を導出すること、A の行列式と関連付けること。
• 複雑性理論的、組合せ的、位相的知見を、量子もつれの構造に統合すること。

提案手法

• すべての X ⪰ 0 に対して Im(T(X)) = Im(∑i xi yi† X yi xi†) を満たすランク1行列の族 {xiyi†} を用いて、M(N) → M(N) への線形正の弱可分作用素 T を定義する。
• T がランク非減少であることと、二つの幾何的マトロイド MI(X,Y) の交叉のランクが N に等しいことの間の同等性を確立する。
• すべての X ⪰ 0 に対して Im(AXA†) ⊆ Im(T(X)) を満たす非特異行列 A を導入し、作用素の像の包含関係と行列構造を結びつける。
• 完全正定値な T に対して、T′(X) = T(X) − AXA† が完全正定値であることは、このような A が存在することと同値であることを示す。
• 量子パーマネントと行列式の性質を用いて、QP(CH(T)) ≥ N!|Det(A)|² > 0 を導出する。CH(T) は T のチョイ行列を表す。
• 線形代数、マトロイド理論、量子情報の道具を用いて、もつれと作用素の正定値性に関する構造的知見を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形正の弱可分作用素 T: M(N) → M(N) がランク非減少であるための条件は何か？
• RQ2 二つの幾何的マトロイド MI(X,Y) のランクは、作用素 T の構造とどのように関係するか？
• RQ3 非特異行列 A が存在するとき、T(X) − AXA† が完全正定値であるのはいつか？
• RQ4 チョイ行列 CH(T) の量子パーマネントに対する定量的下界は、det(A) を用いてどのように表されるか？
• RQ5 マトロイド理論における組合せ的・位相的構造は、量子もつれの性質をどのように反映するか？

主な発見

• 線形正の弱可分作用素 T がランク非減少であることと、二つの幾何的マトロイド MI(X,Y) の交叉のランクが N に等しいことは、同値である。
• すべての X ⪰ 0 に対して Im(AXA†) ⊆ Im(T(X)) を満たす非特異行列 A の存在は、T がランク非減少であることと同値である。
• T が完全正定値である場合、T(X) − AXA† が完全正定値であることと、このような非特異行列 A の存在は同値である。
• 作用素 T のチョイ行列の量子パーマネントは、QP(CH(T)) ≥ N!|Det(A)|² > 0 を満たし、非自明な下界を提供する。
• ランク非減少性とマトロイド交叉ランクの同等性は、量子作用素理論と組合せ論の深い結びつきを示している。
• 結果として、作用素的双対性を通じて、複雑性理論的、組合せ的、位相的視点が量子もつれの構造に統合された。