[論文レビュー] Quantum Mechanical Formulation Of Quantum Cosmology For Brane-World Effective Action

Abhik Kumar Sanyal|ArXiv.org|May 12, 2003

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ R + R^2 $ 項を含む4次元ブレーンワールド有効作用法の正準量子化を通じて、量子宇宙論を定式化し、便宜変数を導入して、エルミートな有効ハミルトニアンを持つシュレーディンガー型方程式を導出する。これにより、一貫した量子力学的確率解釈が可能となり、固有の時間パラメータが特定され、有効ポテンシャルの変分原理により古典的解が得られる。

ABSTRACT

Canonical quantization of the Brane-World effective action presented by Kanno and Soda containing higher order curvature invariant terms, has been performed. It requires introduction of an auxiliary variable. As observed in a series of publications by Sanyal and Modak, here again we infer that properly chosen auxiliary variable leads to a Schrodinger like equation where the kinetic part of a canonical variable disentangles from the rest of the variables giving a natural quantum mechanical flavour of time. Further, the effective Hamiltonian turns out to be hermitian, leading to the continuity ewuation. Thus, a quantum mechanical probability inter pretation is plausible. Finally, the extremization of the effective potential leads to Einstein's equation and a well behaved classical solution, which is a desirable feature of the gravitational action containing higher order curvature invariant terms.

研究の動機と目的

• 高次の曲率不変量を含む4次元ブレーンワールド有効作用法に対する、一貫した量子力学的量子宇宙論の定式化を提供すること。
• 標準的なホイーラー＝デウィット量子化において時間パラメータと確率解釈が欠落している問題を解決すること。
• $ R^2 $ 項を便宜変数を用いて導入することで、エルミートハミルトニアンと連続の方程式が得られることを示すこと。
• 有効ポテンシャルの変分原理により、真空アインシュタイン方程式が再現されることを示し、古典的整合性を保証すること。
• 全微分項（例：ギブンズ＝ホーキング項）は、便宜変数を導入する前に除去されなければならないこと、そうでないと誤った量子力学的ダイナミクスが生じることを明確にすること。

提案手法

• 高次の曲率不変量を含むカノンス・ソダのブレーンワールド有効作用法の正準量子化。この作用法には$ R + R^2 $ 項が含まれる。
• 便宜変数の導入により、作用法を、1つの自由度が時間的変数として分離できる正準形に再定式化すること。
• エルミートな有効ハミルトニアンを持つ、時間に依存するシュレーディンガー方程式の形をとるホイーラー＝デウィット方程式を導出すること。
• 確率および電流密度を定義するために、連続の方程式を保証するため、$ n = -1 $ の演算子順序付けを用いること。
• スケール因子に関連する幾何的変数$ \alpha $ を、量子モデルにおける固有の時間パラメータとして同定すること。
• 弱いエネルギー極限における古典的アインシュタイン方程式を再現するために、有効ポテンシャルの変分原理を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次の曲率項が存在する場合に、量子宇宙論における一貫した量子力学的確率解釈を確立できるか？
• RQ2 $ R^2 $ 項がブレーンワールド有効作用法に含まれる場合、明確な時間パラメータを持つシュレーディンガー型定式化が可能か？
• RQ3 便宜変数を導入する際、全微分項（例：ギブンズ＝ホーキング項）は量子力学的ダイナミクスにどのような役割を果たすか？
• RQ4 正準変数の選択および演算子順序付けの選択が、ハミルトニアンのエルミート性および連続の方程式に与える影響は何か？
• RQ5 量子モデルの古典的極限において、有効ポテンシャルの変分原理により、真空アインシュタイン方程式を再現できるか？

主な発見

• 有効ポテンシャルから導かれるハミルトニアンはエルミートであるため、一貫した量子力学的確率解釈が可能である。
• ホイーラー＝デウィット方程式は、$ \alpha $ を固有の時間パラメータとして持つ時間に依存するシュレーディンガー方程式の形をとる。これは正準構造から自然に導かれる。
• 連続の方程式$ \frac{\partial \rho}{\partial \alpha} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $ が満たされ、ここで$ \rho = \psi^* \psi $ であり、$ \mathbf{J} $ は波動関数およびその微分から定義される。
• 有効ポテンシャルの変分原理により、真空アインシュタイン方程式が得られ、弱いエネルギー極限における古典的重力理論との整合性が確認される。
• この手法により、便宜変数を導入する前に全微分項（例：ギブンズ＝ホーキング項）を除去することが、誤った量子力学的ダイナミクスを避けるために不可欠であることが示された。
• このモデルは4次元ブレーンワールドレベルですら、依然として量子領域に留まるため、有効作用法が古典的標準模型に還元されないことが示唆される。