[論文レビュー] Quantum mechanics as a space-time theory

J. V. Corbett, Thomas Durt|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子力学を時空理論として再定式化するものであり、古典的実数連続体の代わりに、量子状態空間上のデデキンド実数の層から導かれる、系に依存する可変な「qrumber連続体」を用いる。非局所的量子現象が、この量子時空における局所的軌道として理解可能であり、EPRの非局所性のようなパラドックスが、粒子が明確なqrumber値の位置と運動量を持つ非標準連続体において解消されることを示している。これは、標準量子力学やド・ブロイ＝ボーム力学とは、本体論的に異なる。

ABSTRACT

We show how quantum mechanics can be understood as a space-time theory provided that its spatial continuum is modelled by a variable real number (qrumber) continuum. Such a continuum can be constructed using only standard Hilbert space entities. The geometry of atoms and subatomic objects differs from that of classical objects. The systems that are non-local when measured in the classical space-time continuum may be localized in the quantum continuum. We compare this new description of space-time with the Bohmian picture of quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 古典的実数連続体を、系に依存する非標準連続体に置き換えることにより、量子力学を時空理論として再定式化すること。
• qrumbersを用いて空間的・時間的構造を再定義することにより、量子力学の基礎的問題、特に非局所性と測定問題を解決すること。
• ヒルベルト空間形式主義の解釈的曖昧性を避ける幾何的・軌道に基づく量子系の解釈を提供すること。
• 連続体が物理系に依存するようにすることで、一般相対性理論に類似した幾何化と量子力学を結びつけること。
• EPR型の非局所性が、この新しい連続体におけるqrumber空間内の局所的力学として理解可能であることを示し、ハミルトニアンに類似した方程式によって定義される軌道を提示すること。

提案手法

• 量子状態空間上の層のトポスにおけるデデキンド実数の層の局所的切断として、qrumber連続体を構築し、$\mathbb{R}_D(\mathcal{E}_\mathcal{S})$ と表記する。
• 量子点を、系の状態に依存して非自明な有効範囲を持つ実数であるqrumbersの三つ組として特定する。
• 量子粒子を、位置や運動量が標準的実数ではなくqrumber値に割り当てられる古典的粒子としてモデル化する。
• 純粋状態の近傍の重なりを避けるために、$\epsilon < 1$ を満たすノルムに基づく近傍構造 $\nu(\rho; \epsilon)$ を用いて、量子状態の存在範囲を定義する。
• qrumber値の位置と運動量を用いて、古典的ハミルトニアン力学に類似した運動方程式を用いて、qrumber軌道を導出する。
• EPR＝ボーム実験にこの枠組みを適用し、エンタングル状態における位置演算子と運動量演算子の期待値を計算し、スピンと磁場の相互作用を含めると、qrumber軌道が4本に分岐することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的実数連続体を、系に依存する非標準連続体に置き換えることにより、量子力学を一貫して時空理論として解釈できるか？
• RQ2 EPR型実験における非局所的量子相関は、qrumber連続体を持つ量子時空における局所的力学としてどのように説明できるか？
• RQ3 この枠組みにおける量子粒子の本体論的状態は何か？ そして、標準量子力学やド・ブロイ＝ボーム力学とはどのように異なる軌道をとるか？
• RQ4 qrumbersによって定義される量子空間の幾何学は、古典的空間とどのように異なり、特に局所化と測定結果の観点からどう異なるか？
• RQ5 この新しい形式主義において、明確なqrumber値の軌道と不確定性原理は、どの程度調和するか？

主な発見

• EPR状態における粒子のqrumber値の位置は、量子化軸方向に概ねゼロであるが、粒子は単一の古典的点に局在化しているわけではない。
• 測定が $P_{\psi_+(j)}$ や $P_{\psi_-(j)}$ の近くで行われるとき、j番目の粒子のqrumber位置は、波動関数の直交性により $\epsilon < 1$ のとき互いに重複しない2つの近傍で同時に有効である。
• 混合状態 $\rho_0(j)$ の $\epsilon$-近傍には純粋状態のみが含まれず、$\epsilon$ が小さいとき、$\frac{1}{2}\nu(P_{\psi_+(j)}; \epsilon) + \frac{1}{2}\nu(P_{\psi_-(j)}; \epsilon)$ に概ね等しくなるため、有効範囲の重ね合わせを示している。
• EPR状態に存在する2つの同一のスピンのない粒子について、各粒子のqrumber軌道は $\vec{a}$-方向にゼロのまわりに局在化しており、$\vec{a} \cdot \vec{x}(j)$ のqrumber値は概ねゼロである。
• スピンと磁場の相互作用が存在する場合、2粒子のqrumber軌道は4本の明確な軌道に分岐し、エンタングルメント構造を反映している。
• 期待値 $\text{Tr}[P_\Psi(\hat{X}_a(1) \otimes \hat{X}_a(2))] = -(v t)^2$ および類似の項は非軸成分では消え、軸対称性と量子時空における軌道の振る舞いを確認している。