[論文レビュー] Quantum Mechanics as Asymptotics of Solutions of Generalized Kramers Equation

E. M. Beniaminov|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

advanced mathematical theories参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、運動量空間における拡散を伴う一般化されたクライマース方程式に基づく確率的力学的モデルを提案し、量子力学を漸近的極限として導出する。中間抵抗（単位質量あたりの抵抗）が大きい場合、系は明確に区別できる段階を経て進化する：即座に定常状態への緩和、ユニタリなシュレーディンガー型の時間発展、固有状態へのデコherence、最終的にはギブズ状態への熱平衡化——これにより、量子力学が古典的確率的過程から生じる有効な振る舞いとして明らかになる。

ABSTRACT

We consider the process of diffusion scattering of a wave function given on the phase space. In this process the heat diffusion is considered only along momenta. We write down the modified Kramers equation describing this situation. In this model, the usual quantum description arises as asymptotics of this process for large values of resistance of the medium per unit of mass of particle. It is shown that in this case the process passes several stages. During the first short stage, the wave function goes to one of "stationary" values. At the second long stage, the wave function varies in the subspace of "stationary" states according to the Schrodinger equation. Further, dissipation of the process leads to decoherence, and any superposition of states goes to one of eigenstates of the Hamilton operator. At the last stage, the mixed state of heat equilibrium (the Gibbs state) arises due to the heat influence of the medium and the random transitions among the eigenstates of the Hamilton operator. Besides that, it is shown that, on the contrary, if the resistance of the medium per unit of mass of particle is small, then in the considered model, the density of distribution of probability $ρ=|ϕ|^2$ satisfies the standard Liouville equation, as in classical statistical mechanics.

研究の動機と目的

• 位相空間における古典的確率的過程の漸近的極限として、量子力学を導出すること。
• 運動量依存の拡散と複素位相ダイナミクスを有する修正クライマース方程式を用いて、波動関数の時間発展をモデル化すること。
• 高抵抗下でシュレーディンガー方程式が長時間の漸近的振る舞いとして生じることを示すこと。
• デコherenceと熱平衡化が、同一の確率的過程の後続段階としてどのように生じるかを説明すること。
• ハミルトニアンの固有状態と、系の最終的平衡状態との対応関係を確立すること。

提案手法

• 運動量変数に沿ったみだり拡散のみを有する、位相空間上での複素数値波動関数 φ(x,p,t) に対する一般化クライマース方程式を定式化する。
• 時間スケールを分離可能にする次元なしパラメータ ε = ħ/(γħ) を導入し、漸近的解析を可能にする。
• 特異摂動論を適用して、波動関数を遅い成分（φ₀）と速い成分（φ₁）に分解し、φ₀が拡散作用素のゼロモード部分空間上を進化することを示す。
• 射影作用素 P₀A′ の固有関数展開を用いて、遅い多様体上での有効なダイナミクスを導出する。
• 遅い多様体上での有効な時間発展を、固有値問題の一次補正から導かれるハミルトニアン H を持つシュレーディンガー型方程式として得る。
• 高次固有値補正の実部（Re(λ²_k)）がデコherenceおよびギブズ状態への熱平衡化を駆動することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間における拡散を伴う古典的確率的過程において、量子力学が漸近的極限として生じるか？
• RQ2 高抵抗下における波動関数の時間発展において、明確に区別できるダイナミクス的段階は何か？
• RQ3 高抵抗極限において、修正クライマース方程式からどのようにシュレーディンガー方程式が生じるか？
• RQ4 射影作用素の固有値が、デコherenceおよび熱平衡化を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 小抵抗極限における確率密度 ρ = |φ|² の振る舞いは何か？また、古典的リウヴィル力学と比較するとどうなるか？

主な発見

• 抵抗が大きい（ε が小さい）場合、波動関数は即座に拡散作用素 B′ の核に相当する「定常状態」の部分空間へ緩和する。
• 遅い多様体上では、波動関数の時間発展が、固有値問題の一次補正から導かれるハミルトニアン H を持つシュレーディンガー型方程式に従う。
• 2次補正の固有値の実部（Re(λ²_k)）がデコherenceの速度を決定づけ、重ね合わせ状態が個々の固有状態へ崩壊する。
• 時間スケール t ∼ 1/(γε²) 経過後、系の状態は Re(λ²_k) が最大の固有状態に支配され、有効な波動関数の崩壊が生じる。
• 小抵抗極限（ε が大きい）では、確率密度 ρ = |φ|² は古典的リウヴィル方程式を満たし、古典的統計力学と整合的である。
• 最終段階では、連続的な熱交換とエネルギー固有状態間のランダム遷移により、ギブズ状態への熱平衡化が生じる。