[論文レビュー] Quantum mechanics emerging from "timeless" classical dynamics

Hans-Thomas Elze|ArXiv.org|Jun 13, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固有時と観測可能な変化の間の統計的分布を介して、離散的で物理的な時間（時間）を導入することにより、量子力学が決定論的古典的力学から生じうることを提案する。経路積分形式および正則化を用いて、著者らは古典的系からユニタリな量子ハミルトニアンを導出し、トンネル効果やユニタリな時間発展といった量子的特徴を回復した。これは、量子力学が、固有時の離散化を伴う下位の古典的力学からの有効理論として生じうることを示している。

ABSTRACT

We study classical Hamiltonian systems in which the intrinsic proper time evolution parameter is related through a probability distribution to the physical time, which is assumed to be discrete. In this way, a physical clock with discrete states is introduced, which presently is still treated as decoupled from the system. This is motivated by the recent discussion of ``timeless'' reparametrization invariant models, where discrete physical time has been constructed based on quasi-local observables. Employing the path-integral formulation of classical mechanics developed by Gozzi et al., we show that these deterministic classical systems can be naturally described as unitary quantum mechanical models. We derive the emergent quantum Hamiltonian in terms of the underlying classical one. Such Hamiltonians typically need a regularization - here performed by discretization - in order to arrive at models with a stable groundstate in the continuum limit. This is demonstrated in several examples, recovering and generalizing a model advanced by 't Hooft.

研究の動機と目的

• 決定論的古典的力学から量子力学が有効理論として生じうるかどうかを検討すること。
• 再パラメトリゼーション不変系における「時間の問題」を、観測可能な変化に基づく離散的物理的時間の導入によって解決すること。
• 固有時の離散化を伴う古典的ハミルトニアン系からユニタリな量子力学を回復する形式的枠組みを構築すること。
• 連続極限における安定した基底状態を達成するために、古典的ハミルトニアンの正則化が不可欠であることを示すこと。
• トンネル効果やユニタリな時間発展といった量子的特徴が、この枠組みのもとで古典的モデルから自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 観測可能な変化に基づき、固有時τと関連づける確率分布P(τ; t) = P(τ − t)を用いて、離散的物理的時間tを導入する。
• Gozziらが開発した古典的力学の経路積分形式を用いて、古典的力学の生成関数を定義する。
• 古典的経路に関する関数積分から、量子的状態およびヒルベルト空間の構造を構築する。
• 古典的力学から、標準的でないハミルトニアン作用素を有するシュレーディンガー方程式を導出する。
• 離散化による正則化を適用してハミルトニアンを安定化させ、下から有界なスペクトルを保証する。
• 投影演算子を用いて準局所的検出器をモデル化し、時計自由度のための関係的かつ条件付き確率を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間の離散的かつ物理的取り扱いのもとで、ユニタリな量子力学が決定論的古典的力学から生じうるか？
• RQ2 ハミルトニアンスペクトルが無限大に発散する古典的系で、安定した基底状態をどのように達成できるか？
• RQ3 確率分布P(τ; t)は、固有時と観測可能な物理的時間の間で果たす役割は何か？
• RQ4 量子系に特徴的なトンネル効果が、決定論的古典的枠組みの中でどのように生じるか？
• RQ5 この形式的枠組みを、時計自由度を外部から固定するのではなく、動的に含める形で一貫して拡張可能か？

主な発見

• 離散的時間を用いた経路積分的手法により、決定論的古典的力学からユニタリなシュレーディンガー方程式が成功裏に導出された。
• 生じた量子ハミルトニアンは標準的ではなく、連続極限における安定した基底状態を保証するために、正則化（特に離散化）が不可欠であることが判明した。
• 量子力学の特徴的性質であるトンネル効果が、導出された量子調和振動子モデルの内在的性質として回復された。
• この枠組みは、下位の力学が決定論的であるにもかかわらず、自然にヒルベルト空間構造とユニタリな時間発展を導出できた。
• 本モデルは't Hooftの先行研究を一般化し、調和的または自由場的ダイナミクスを示すより広いクラスの古典的系へと拡張した。
• 生成関数における投影演算子を用いることで、時計観測量を含む条件付き確率を一貫して記述でき、関係的時間の記述が可能になった。