[論文レビュー] Quantum mechanics in a cut Fock space

Maciej Trzetrzelewski|ArXiv.org|Jul 8, 2004

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Fock空間を有限個の量子数（N）で切断することで、量子力学的系を数値的に解く手法を提案する。これにより、有限次元ヒルベルト空間内でのハミルトニアンの正確な対角化が可能になる。N→∞の極限において固有値が真のスペクトルに収束することを証明し、非局在状態のための新しいスケーリング則を導出し、連続スペクトルが切断Nにどのように依存するかを解析的に示した。この依存関係は、Hermite多項式およびLaguerre関数を用いて数値的・解析的に検証された。

ABSTRACT

A recently introduced numerical approach to quantum systems is analyzed. The basis of a Fock space is restricted and represented in an algebraic program. Convergence with increasing size of basis is proved and the difference between discrete and continuous spectrum is stressed. In particular a new scaling low for nonlocalized states is obtained. Exact solutions for several cases as well as general properties of the method are given.

研究の動機と目的

• 有限の切断Nを用いた切断Fock空間を用いた量子系の数値的アプローチの開発および分析。
• 有限次元ヒルベルト空間における固有値がN→∞の極限で正確なスペクトルに収束することの証明。
• 特に超対称Yang-Mills量子力学において、離散スペクトルと連続スペクトルを区別すること。
• 連続スペクトルにおける非局在状態のための新しいスケーリング則の導出。Nに冪乗依存性を示す。
• 数値データを用いた理論的結果の検証および、実用的応用のためのMathematicaにおける手法の実装。

提案手法

• Fock空間をN個の量子数で切断し、占有数基底におけるハミルトニアンを有限行列H^(N)として表現する。
• 座標Qと運動量P演算子を生成・消滅演算子を用いて表すために、調和振動子固有状態|n⟩ = (a†)^n / √n! |0⟩を用いる。
• 代数的計算を用いてH^(N)を対角化し、有限Nにおける固有値E_m^(N)と固有ベクトルc_m^(N)を抽出する。
• 三重対角行列の行列式に関する再帰関係を用いて、切断Fock空間における運動量および座標演算子のスペクトルを導出する。
• 母関数およびHermite/Laguerre多項式の恒等式を用いて、固有値および漸近的挙動を解析的に解く。
• 数値的検証および、再現可能な計算のためのMathematicaにおける手法実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock空間の切断N→∞の極限において、切断Fock空間における量子ハミルトニアンのスペクトルが真のスペクトルにどのように収束するか。
• RQ2 連続スペクトルがFock空間の切断Nにどのように依存するか。離散スペクトルとはどのように異なるか。
• RQ3 有限Nの計算から無限ヒルベルト空間極限を回復するための普遍的なスケーリング則を導出可能か。
• RQ4 有限NのFock空間における運動量および座標演算子の固有値はどのように振る舞い、その解析的構造は何か。
• RQ5 有限N系における数値的結果が、自由粒子および超対称Yang-Mills量子力学における解析的予測とどの程度一致するか。

主な発見

• 切断ハミルトニアンH^(N)の固有値E_m^(N)は、N→∞の極限で正確な固有値E_mに収束する。これにより、本手法の整合性が証明された。
• 非局在状態のための新しいスケーリング則が導出され、連続スペクトルが切断Nに対して冪乗依存性を示すことが判明した。
• 切断Fock空間における運動量演算子のスペクトルは、Hermite多項式H_N(iη/√2)の零点によって決定され、大Nにおける明示的漸近展開が得られた。
• 自由粒子の場合、有限Nにおける固有値はHermite多項式の根と解析的に関係づけられ、スケーリング則により無限N極限と一致する。
• 偶数nにおける運動量空間波動関数成分|c_E^n|の大きさは、大nにおいて√(2/πn)^(1/2)で有界であり、急速な減衰を示す。
• Mathematicaにおける数値的実装により、解析的予測と優れた一致が確認され、計算された固有値および固有ベクトルが期待される値と一致した。