[論文レビュー] Quantum Mechanics in General Relativity

E. A. Tagirov|ArXiv.org|Jul 14, 1998

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論に適合する曲がった時空 $V_{1,3}$ 内のスピンのない点粒子に対する一般共変かつ準非相対論的量子力学を、実スカラー場の量子場理論からシュレーディンガー型方程式を導出し、漸近的にエルミート型のハミルトニアンを得ることで構築する。主な結果は、座標演算子と運動量演算子が一般に非可換になることであり、これは標準的正準量子化とは異なり、相対論的補正のため、非ミンコフスキー時空でも成り立つ。ただし、非相対論的極限または直交座標系を用いた平坦時空では成り立つ。

ABSTRACT

Having started with the general formulation of the quantum theory of the real scalar field (QFT) in the general Riemannian space--time $ V_{1,3} $, the general--covariant quasinonrelativistic quantum mechanics of a point-like spinless particle in $ V_{1,3} $ is constructed. To this end, for any normal geodesic 1+3--foliation of $ V_{1,3} $, a space $Φ^-$ of asymptotic in $c^{-1}$ solutions of the field equation is specified, which can be mapped to a space $Ψ$ of solutions of a Schrödinger equation with an (asymptotically) Hermitean hamiltonian and the Born probabilistic interpretation of the vectors of $Ψ$. The basic operators of the momentum and the spatial position of the particle acting in $Ψ$ generated by the corresponding observables of QFT include relativistic corrections, and therefore differ generally from those which follow for the geodesic motion in $ V_{1,3} $ from the canonical postulates of quantization. In particular, the operators of coordinates do not commute as well as the operators of the conjugate momenta, except the cases of Cartesian coordinates in the Minkowski space--time or of the exact nonrelativistic limit $(c^{-1} = 0)$. This approach provides QFT in the general $ V_{1,3} $ in the Fock representation with a particle interpretation based on the Born interpretation of wave functions.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論に適合する曲がった時空におけるスピンのない点粒子の整合的な量子力学を定式化すること。
• 曲がった時空における量子場理論の枠組みから、漸近的にエルミート型のハミルトニアンを持つシュレーディンガー方程式を導出すること。
• 一般時空 $V_{1,3}$ における波動関数のボルン確率解釈を確立し、Fock表現を曲がった背景へ拡張すること。
• 相対論的補正が曲がった時空における標準的量子力学的演算子（位置、運動量）をどのように変更するかを調査すること。
• この一般枠組みから標準的非相対論的量子力学がどのように導かれるかの条件を明確にすること。

提案手法

• 一般リーマン時空 $V_{1,3}$ における実スカラー場の一般量子場理論（QFT）の定式化から出発する。
• 場の方程式の $c$（光速）の逆数のべき級数として表される漸近的解の空間 $\Phi^-$ を特定し、準非相対論的極限で有効である。
• $\Phi^-$ を、漸近的にエルミート型のハミルトニアンを持つシュレーディンガー方程式の解のヒルベルト空間 $\Psi$ へ写像する。
• QFTの観測可能量に対応する運動量および空間的位置の量子演算子を、相対論的補正を組み込んで定義する。
• 時空を一般共変に時間発展と空間的構造を定義するため、ノーマル測地線 1+3 フォリエーションを用いる。
• 波動関数 $\psi \in \Psi$ を粒子の局在および運動量の確率振幅として解釈するためにボルン則を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般曲がった時空における量子場理論から、点粒子の整合的量子力学をどのように導出できるか？
• RQ2 一般時空における標準的量子力学的演算子（位置および運動量）に及ぼされる相対論的補正は何か？
• RQ3 位置演算子と運動量演算子が可換になる条件は何か、また非可換になる条件は何か？
• RQ4 この枠組みにおいて、波動関数のボルン確率解釈はどのように曲がった時空へ拡張されるか？
• RQ5 この構成はどのような極限で標準的非相対論的量子力学に還元されるか？

主な発見

• 構築された量子力学は一般共変であり、曲がった時空におけるQFTのFock表現に基づく。
• シュレーディンガー方程式におけるハミルトニアンは漸近的にエルミート型であり、$c^{-1}$ 展開においてユニタリな時間発展を保証する。
• QFTの観測可能量から導かれた運動量および位置演算子には相対論的補正が含まれており、一般に非可換である。
• 座標と運動量演算子の非可換性は、$c^{-1} = 0$（非相対論的極限）またはミンコフスキー時空で直交座標系を用いる場合を除き、すべての時空で成立する。
• この枠組みは、$\Psi$ における波動関数にボルン則を適用することにより、曲がった時空におけるQFTの粒子的解釈を提供する。
• このアプローチは、時空の曲がりと相対論的効果を演算子代数に直接組み込むことで、標準的正準量子化を一般化する。