[論文レビュー] Quantum mechanics is the square root of a stochastic process

Marco Frasca|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子力学が確率過程の平方根として生じることを提案している。具体的には、ウィENER（ブラウン運動）過程と対称ベルヌーイ過程（コイントス）の組み合わせとしてのものである。著者らは、ストキャスティック微分の分数乗を扱う一般化されたイト微積分を用い、複素数値の拡散過程からシュレーディンガー方程式を導出し、波動関数が古典的確率過程の平方根として自然に出現することを示した。これにより、量子力学に新たな確率的基礎を与えた。

ABSTRACT

We prove a theorem showing that quantum mechanics is not directly a stochastic process characterizing Brownian motion but rather its square root. This implies that a complex-valued stochastic process is involved. Schrödinger equation is immediately derived without further assumptions using Itō integrals that are properly generalized. Fluctuations in space arise from a Brownian motion and the combined effect of a stochastic process with a symmetric Bernoulli distribution typical of tossing a coin.

研究の動機と目的

• 量子力学を古典的確率過程と結びつける数学的基盤を確立すること。
• 量子力学に古典的確率過程が根拠として存在しないという長年の反論を解消すること。
• シュレーディンガー方程式が、ウィーナー過程とベルヌーイ過程の組み合わせによる平方根から自然に生じることを示すこと。
• ストキャスティック微分の非整数乗、特に(dW)^{1/2}を扱えるようにイト微積分を一般化すること。
• 波動関数が、測度ゼロの成分を含む確率過程から導かれる複素確率分布と数学的に同等であることの証明。

提案手法

• ルート平均平方の意味で収束を保証する正則化技術を用いて、(dW)^{1/2}のようなウィーナー増分の非整数乗に対する一般化されたイト積分を定義する。
• ウィーナー増分dWをsign(dW)と|dW|に分解し、イト微積分においてsign(dW)を測度ゼロの過程とみなすが、|dW|との積が非自明な結果を生じることを許容する。
• コイントスを表すベルヌーイ過程を、複素数の波動関数の性質を誘発する基本的確率的要素として導入する。
• シュレーディンガー方程式を、ストキャスティック拡散過程に平方根操作を適用することで導出し、[dX(t)]^2が虚数単位iに比例する項を生じることを示す。
• dX(t) = [dW(t) + V(X,t)dt]^{1/2}とすることで、ポテンシャルを含む一般化された確率過程を定義し、時間に依存するシュレーディンガー方程式と一致する修正された拡散方程式を導出する。
• リーマン和の発散を扱うために、ゼータ関数の和などの正則化法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 追加の仮定なしに、シュレーディンガー方程式を古典的確率過程から導出できるか？
• RQ2 ストキャスティック微積分の文脈において(dW)^{1/2}の数学的性質は何か？ そして、有限な極限を有するのか？
• RQ3 ベルヌーイ過程（コイントス）の導入により、実数値の拡散がどのように複素数値の量子的時間発展に変わるのか？
• RQ4 ウィーナー過程の平方根が、時間発展とポテンシャル項を含む量子力学の全構造を再現できるか？
• RQ5 グラバート、ハンギ、タロックナー（GHT）が指摘した、古典的マスター方程式が量子遷移確率を再現できないという反論を、この形式は回避できるか？

主な発見

• シュレーディンガー方程式は、ウィーナー過程と対称ベルヌーイ過程を組み合わせた確率過程の平方根として、追加の仮定なしに導出された。
• 波動関数は、実確率過程の平方根から生じる複素数値の確率振幅として自然に出現し、虚数単位iはベルヌーイ過程の位相構造に由来する。
• 平方根過程[dW]^{1/2}は、複素数の拡散係数を持つ拡散方程式を導き、シュレーディンガー方程式 ∂ψ/∂t = -i(1/4)∂²ψ/∂X² + ... の形で得られる。
• 正則化、例えばζ(0) = -1/2を用いることで、|dW|のリーマン和の発散を処理した後、(dW)^{1/2}に対する一般化されたイト積分は、定義可能である。
• dX(t) = [dW(t) + V(X,t)dt]^{1/2}という形でポテンシャルV(X,t)を確率過程に組み込むと、時間に依存するシュレーディンガー方程式が得られ、形式の整合性が確認された。
• Fokker-Planck作用素がシュレーディンガー作用素に還元されることを示したことで、GHTの反論を回避し、正確な量子遷移確率を保存することが可能となった。