[論文レビュー] Quantum Mechanics of Lowest Landau Level Derived from N=4 SYM with Chemical Potential

Daisuke Yamada|ArXiv.org|Sep 28, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、R対称性の化学ポテンシャルを伴うS³上でのN=4超ヤン・ミルズ理論から、最低ランダウ準位（LLL）量子力学を導出する。LLLへの有効理論の射影と、演算子法およびシュール多項式を用いた解法により、化学ポテンシャルがスカラー質量未満であるとき、半BPS状態が唯一の低エネルギー励起状態として現れることが示される。1ループ有効ポテンシャルが計算され、同じR荷重を有する状態間の非自明な混合が明らかになり、UV発散は質量再結合補正項によって除去される。

ABSTRACT

The low energy effective theory of N=4 super-Yang-Mills theory on S^3 with an R-symmetry chemical potential is shown to be the lowest Landau level system. This theory is a holomorphic complex matrix quantum mechanics. When the value of the chemical potential is not far below the mass of the scalars, the states of the effective theory consist only of the half-BPS states. The theory is solved by the operator method and by utilizing the lowest Landau level projection prescription for the value of the chemical potential less than or equal to the mass of the scalars. When the chemical potential is below the mass, we find that the degeneracy of the lowest Landau level is lifted and the energies of the states are computed. The one-loop correction to the effective potential is computed for the commuting fields and treated as a perturbation to the tree level quantum mechanics. We find that the perturbation term has non-vanishing matrix elements that mix the states with the same R-charge.

研究の動機と目的

• S³上でのR対称性の化学ポテンシャルを伴うN=4 SYMから、最低ランダウ準位（LLL）量子力学を直接導出すること。
• 化学ポテンシャルがスカラー質量未満であるとき、半BPS状態がホロモーフィックな複素行列量子力学のLLLに対応することを示すことにより、それらの状態を分離するデカップリング極限を明確にすること。
• 可換場に対して1ループ有効ポテンシャルを計算し、LLLの degeneracy をどのように取り除くか、および同じR荷重を有する状態の混合に与える影響を分析すること。
• 次元正則化と化学ポテンシャルに起因する質量再結合補正項を用いて、1ループ補正におけるUV発散を処理すること。

提案手法

• S³上での化学ポテンシャルμを伴うN=4 SYMの低エネルギー有効理論が導出され、ハミルトニアンはH = h − μjとして修正され、ここでhは元のハミルトニアン、jはR荷重演算子である。
• 化学ポテンシャルμ ≤ m_scalarの範囲で、有効理論をLLLに射影する処理が適用され、特定の測度とシュレーディンガー方程式を持つホロモーフィックな複素行列量子力学が得られる。
• LLL射影されたシュレーディンガー方程式を解くために演算子法が適用され、U(N)不変状態はシュール多項式を正規直交基底として構成される。
• 1ループ有効ポテンシャルは次元正則化を用いて計算され、ボソン的およびフェルミオン的寄与における発散は補正項によって相殺される。
• ポテンシャルの発散部分は、化学ポテンシャルがゲージ場およびスカラー場に結合する図から生じるμ²に比例する質量再結合補正項によって差し引かれる。
• 得られた1ループ補正は状態の和として表現され、同じR荷重を有する状態を混合させる非自明な行列要素を有する。関数C(μ)は、μに依存する有限部分を捕捉するように定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S³上でのN=4 SYMにR対称性の化学ポテンシャルを導入すると、どのようにして最低ランダウ準位量子力学が現れるのか？
• RQ2 化学ポテンシャルをスカラー質量未満に調整したとき、低エネルギー有効理論の構造は何か？また、これは完全なSYM理論とはどのように異なるか？
• RQ3 化学ポテンシャルが1（球面半径の逆数単位）未満であるわずかに小さい値に設定されたとき、最低ランダウ準位の degeneracy はどのように取り除かれるか？
• RQ4 1ループ補正が有効ポテンシャルに与える役割は何か？また、LLLにおける状態混合にどのように影響するか？
• RQ5 1ループポテンシャルにおけるUV発散はどのように処理されるか？そして、それらをキャンセルするために用いられる補正項の物理的起源は何か？

主な発見

• S³上での化学ポテンシャルμを伴うN=4 SYMの低エネルギー有効理論は、ホロモーフィックな複素行列量子力学に相当し、これは最低ランダウ準位系に対応する。
• μ ≤ m_scalarのとき、唯一の低エネルギー状態は半BPS状態であり、H|ψ⟩ = (1−μ)n|ψ⟩を満たし、エネルギーはR荷重nに比例する。
• 1ループ有効ポテンシャルには、同じR荷重を有する状態を混合させる非自明な行列要素が含まれており、これは量子補正がdegeneracyを解除し、相互作用を誘発することを示唆する。
• 1ループポテンシャルにおける発散する1/ε極は、化学ポテンシャルがゲージ場およびスカラー場に結合する図から生じるμ²に比例する質量再結合補正項によってキャンセルされる。
• 1ループ補正の有限部分は関数C(μ)として表現され、これは単調増加であり、μ=1近傍で特定の挙動を示す（図2参照）。
• 減算後の最終的な1ループ有効ポテンシャルは有限であり、残りの項はμ²、't Hooft結合子λ、および質量差の二乗和M_{mn}²に依存する。