[論文レビュー] Quantum Mechanics of the Early Universe and its Limiting Transition

Alexander Shalyt-Margolin, Juan Suarez|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、一般不確定性関係から導かれる基本長を有する変形量子力学の枠組みを提唱し、初期宇宙を記述する。密度行列を変形（「密度プロ行列」の導入）することで、確率的解釈と測定手順を保存しつつ、変形されたリウヴィル方程式とシュレーディンガー図式を導出し、量子重力領域における力学的記述を可能にする。主な貢献は、プランクスケールでユニタリ同等でないが、低エネルギー極限では標準量子力学に還元される理論的枠組みの構築である。

ABSTRACT

In this paper Quantum Mechanics with Fundamental Length is chosen as the theory for describing the early Universe. This is possible due to the presence in the theory of General Uncertainty Relations from which unavoidable it follows that in nature a fundamental length exits. Here Quantum Mechanics with Fundamental Length is obtained as a deformation of Quantum Mechanics. The distinguishing feature of the proposed in this paper approach in comparison with previous ones, lies on the fact that here density matrix subjects to deformation as well as so far commutators had been deformed. The deformed density matrix mentioned above, is named throughout this paper density pro-matrix. Within our approach two main features of Quantum Mechanics are conserved: the probabilistic interpretation of the theory and exact predefined measuring procedure corresponding to that interpretation. The proposed here approach allows to describe dynamics. In particular, the explicit form of deformed Liouville's equation and the deformed Shrödinger's picture are given. Some implications of obtained results are discussed. In particular, the problem of singularity, the hypothesis of cosmic censorship, a possible improvement of the statistical entropy definition and the problem of information loss in black holes are considered.

研究の動機と目的

• 初期宇宙を記述するのに適した基本長を有する量子力学的枠組みを構築すること。
• 一般不確定性関係に基づく既存の量子重力的アプローチに定義された測定手順の欠如を解決すること。
• 変形理論においても、標準量子力学の確率的解釈と正確な測定手順を保存すること。
• 新しい枠組み内での力学的方程式（変形されたリウヴィル方程式とシュレーディンガー方程式）を導出すること。
• 特異点、宇宙的裁縒、ブラックホールエントロピー、情報消失といった宇宙論的問題への影響を調査すること。

提案手法

• 理論は標準量子力学の変形として構築され、変形パラメータとして β = l_min²/x² を用い、l_min ∼ L_p を基本長とする。
• 交換関係とトレース則 (5) を変更せずに、密度行列を「密度プロ行列」に変形する。
• 変形理論における波動関数は ψ(β,q) = θ(β)ψ(q) で表され、|θ(β)|² < 1 であり、lim_{β→0} |θ(β)|² = 1 を満たす。
• 変形されたシュレーディンガー方程式には、dθ(β)/dt に由来する追加の時間依存項が含まれ、低エネルギー極限では消える。
• 密度プロ行列の時間発展を記述するため、変形されたリウヴィル方程式を導出する。
• このアプローチにより、変形理論（QMFL）と標準量子力学（QM）との間でユニタリ同等でないことが保証され、QM は β → 0 の極限として再生する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的解釈と測定手順を保存しつつ、基本長を有する一貫した量子力学的枠組みをどのように構築できるか。
• RQ2 基本長を有する量子理論における、変形されたリウヴィル方程式とシュレーディンガー図式の明示的形は何か。
• RQ3 密度プロ行列の導入が、プランクスケールにおける量子力学の力学的性質とユニタリティにどのように影響を与えるか。
• RQ4 この変形理論が特異点や宇宙的裁縒に与える影響は何か。
• RQ5 この枠組みは統計的エントロピーの定義を改善し、ブラックホール情報パラドックスを解消できるか。

主な発見

• 変形理論は、基本長を有しても、標準量子力学の確率的解釈と正確な測定手順を保存する。
• 密度プロ行列は、標準密度行列の変形として導入され、トレース則 (5) が有効であることを保証する。
• 変形理論における全確率は p(β) = ∫|θ(β)|²|ψ(q)|² dq < 1 で表され、β → 0 の極限でのみ 1 に近づく。
• 変形されたシュレーディンガー方程式には、追加の項 dθ(β)/dt が含まれ、低エネルギー極限では消えて、標準量子力学に回復する。
• G、c、ℏ の3つの基本定数が存在するため、標準QMとは異なり、変形理論は標準量子力学とはユニタリ同等でない。
• 変形されたリウヴィル方程式とシュレーディンガー図式が明示的に導出され、初期宇宙領域における力学的解析が可能になる。